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Les primitives - Techniques avancées

Dans cette vidéo, nous étudions le calcul de l'intégrale de 0 à pi de x² exponentiel x cosinus x dx. Pour résoudre ce problème, nous utilisons une astuce en se rappelant que le cosinus peut être représenté comme la partie réelle d'une exponentielle complexe. En utilisant cette propriété, nous réduisons le problème à calculer l'intégrale de 0 à pi de x² exponentiel de 1 plus ix dx. Pour résoudre cette intégrale, nous utilisons une technique d'intégration par parties. En effectuant deux intégrations par parties, nous obtiendrons une expression finale pour l'intégrale initiale. Après avoir calculé cette expression, nous prenons la partie réelle pour obtenir la solution finale de l'intégrale initiale. En résumé, grâce à cette astuce de représenter le cosinus comme une exponentielle complexe, nous avons réussi à calculer l'intégrale initiale. Cette méthode est pratique et permet souvent une résolution réussie.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va étudier une intégrale imaginaire. Alors pourquoi imaginaire ? On nous demande de calculer l'intégrale de 0 à pi de x² exponentiel x cosinus x dx. Alors là, ça nous surprend et on est un peu décompensé vu qu'il y a un produit de trois expressions totalement différentes. Alors déjà, deux expressions, on était obligé de passer au stade au-dessus, de parler d'intégration par partie et de changement de variable. Alors là, avec trois, on est un peu décompensé. Alors en fait, il faut se rappeler qu'un cosinus, ce n'est qu'une partie d'une exponentielle complexe. Et c'est là toute l'astuce, c'est qu'on va se ramener en fait un produit de seulement deux expressions, de seulement deux fonctions, en utilisant cette propriété et aussi des propriétés d'intégrale. Alors, première étape, se ramener à une intégrale de référence en effet. Alors à partir de là, on peut utiliser soit la formule de l'air pour le cosinus, c'est exponentiel ix plus exponentiel de moins x sur 2. Mais c'est plus simple de passer par les complexes et on va le faire tout de suite. Alors le cosinus x, en fait, c'est la partie réelle de exponentiel ix. Or c'est une propriété de l'intégrale, l'intégrale de la partie réelle, c'est la partie réelle de l'intégrale. Donc on peut l'extraire comme ça. Alors l'intégrale qu'on souhaite calculer, c'est donc l'intégrale de 0 à pi de x² exponentiel x, partie réelle de exponentiel ix dx. Et donc ça y est, par propriété d'intégrale, on sort la partie réelle pour tomber sur l'intégrale de 0 à pi de x² exponentiel de 1 plus ix dx. OK. Et là on a totalement changé de problème vu qu'on se retrouve à devoir calculer cette intégrale-là, puis après prendre la partie réelle, mais bon ça c'est pas très coûteux. Calculer cette intégrale-là, eh bien c'est le produit de deux fonctions, un polynôme et puis une exponentielle. Eh bien ça on connaît bien. On va s'y prendre à un gros coût d'intégration par partie. C'est la deuxième étape. On calcule via intégration par partie x² exponentiel 1 plus ix. On se doute qu'on va devoir faire deux intégrations par partie, puisqu'il y a un facteur 2 ici, donc la première va baisser d'un rang et la seconde va bien nous ramener à l'intégrale d'une exponentielle qui là se terminera. Alors on commence par poser les fonctions, u qu'on cherche à dériver c'est x², donc u' 2x, et puis v' c'est une exponentielle, donc ça s'intègre très bien sans complexifier la chose, v' c'est 1 sur 1 plus i, exponentielle de 1 plus ix, ça convient. Les hypothèses c'est qu'elles sont c1 sur 0 pi, c'est vérifié bien sûr avec un polynôme et une exponentielle, donc par théorème d'intégration par partie, l'intégrale de 0 à pi de x² exponentielle 1 plus ix dx c'est égale à la partie intégrée, donc x² sur 1 plus i exponentielle de 1 plus ix entre 0 et pi, moins l'intégrale entre 0 et pi de 2x divisé par 1 plus i exponentielle de 1 plus ix dx. Ok, c'est une expression très lourde à dire, désolé si je vais un peu vite. Alors on a bien abaissé d'un degré, ici c'est bon on a juste à l'évaluer, et on a abaissé d'un degré, maintenant on n'a qu'à réitérer pour abaisser encore d'un degré. Ok, donc de même, qu'est-ce qu'on a ? On peut poser les fonctions u qui est égale à x et donc v' qui est égale à exponentielle de 1 plus ix avec la même intégrale qui convient, un primitif par exemple qui convient. Les hypothèses sont bien vérifiées donc par théorème d'intégration bas parti encore une fois. La petite intégrale de 0 à pi de 2x sur 1 plus i exponentielle de 1 plus ix dx c'est égal à 2x sur 1 plus i au carré exponentielle de 1 plus ix entre 0 et pi moins l'intégrale de 0 à pi de 2 sur 1 plus i au carré exponentielle de 1 plus ix dx. Et là c'est bon, on se retrouve juste avec l'intégrale d'une exponentielle. On calcule tout ça, ici j'ai tout j'ai simplifié l'expression juste ici en développant 1 plus i au carré, donc là c'est juste du calcul, je passe, je détaille pas, il n'y a rien de très savant. Au final on trouve l'expression de la petite intégrale qu'on réinjecte dans le bilan, l'intégrale de 0 à pi de x carré exponentielle de 1 plus ix dx c'est égal à une grosse expression moins pi carré sur 1 plus i exponentielle de pi moins ipi exponentielle de pi plus i sur 1 plus pi plus i sur 1 plus i, j'ai failli arriver, exponentielle de pi plus 1. Ok, alors si on rembobine le schéma de pensée, nous on devait, c'est bon on a calculé cette intégrale, il ne faut pas oublier qu'à la base on ne calculait pas exactement celle-là, on calculait celle-ci, maintenant il suffit de prendre la partie réelle. Pour prendre la partie réelle il faut écrire tous les noms complexes sous forme algébrique, donc sous forme a plus ib et puis extraire tous les a. On prend la partie réelle, donc tous les déminateurs on les multiplie par la quantité conjuguée et en prenant la partie réelle on obtient cette expression. Pour finalement conclure, cette grosse intégrale donc un triple produit de 0 à pi de x carré exponentielle x cosinus x dx, grâce à la mise sous forme imaginaire, on en réduit que c'est égal à 1 moins pi carré sur 2 exponentielle pi plus 1 demi. Donc voilà, il faut bien retenir cette méthode qui est très très pratique de souvent exprimer le cosinus en fonction d'exponentielle, c'est quelque chose qui doit un peu s'automatiser au fur et à mesure qu'on avance dans l'année, il va falloir petit à petit assimiler le cosinus comme une forme d'exponentielle un peu particulière, puisque la partie réelle a souvent de très bonnes propriétés, donc utiliser cette technique ça promet en général une résolution réussie. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis maintenant je vous dis à bientôt !

Les complexes à l'aide !

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