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Les équations différentielles d’ordre 1

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction. On utilise généralement la variable "x" pour les équations avec des réels, mais pour les équations différentielles, on utilise la variable "y" pour les fonctions. Une primitive "f" est une fonction qui, lorsqu'elle est dérivée, donne la petite fonction "y". Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions qui satisfont cette condition. On peut rencontrer des équations différentielles en physique, par exemple lorsqu'on étudie la trajectoire d'un boulet ou le refroidissement d'une boisson chaude. Ces équations permettent de comprendre comment la vitesse ou la température évolue en fonction de la position ou de la valeur. On peut résoudre les équations différentielles en utilisant des méthodes telles que la méthode des solutions homogènes, la méthode des solutions linéaires simples, ou la méthode des solutions avec une fonction quelconque. C'est pourquoi il est important de connaître ces différentes méthodes.

Dans cette introduction sur les équations différentielles, on va commencer très simple. Une équation différentielle, c'est une équation dont l'inconnu est une fonction. On avait avant les équations avec des réels, et dès qu'on avait une inconnue réelle, on l'appelait petit x en général. Maintenant, on aura des inconnues fonctions qu'on va appeler petit y. Vous en avez déjà vu dans le sous-chapitre précédent sur les primitives. Ce qu'on a vu, c'était la réponse à la question « Quelles sont les fonctions qui vont se dériver et donner une petite fonction f donnée ? » Donc j'ai f, une fonction fixe qui ne bouge pas. « Quelles sont les fonctions qui se font dériver en f ? » Donc si je devais introduire une inconnue ici, ce ne serait pas donc x mais petite y, « Quelles sont les y qui vérifient leur dérivé et le petit f ? » « Quelles sont les y qui vérifient y' et le petit f ? » Et on dit, une primitive grand f va vérifier ça. C'est pour ça qu'on peut écrire grand f' et le petit f. Les grands f sont des solutions de l'équation différentielle, donc y' et le petit f. Vous l'avez vu aussi pour l'exponentielle. L'exponentielle, si on devait l'écrire sous forme d'équation différentielle, on vous disait que c'est cette fonction qui est égale à sa dérivée. Donc, fonction inconnue y doit être égale à sa dérivée y'. Ok, on vérifiait y'y' et pour l'exponentielle on vérifiait aussi y2o'1. Pour l'exponentielle, j'ai voulu vous l'illustrer un petit peu avec cet exemple-là. Je mets des graphes ici. Tous les graphes de y'y' pour plein de valeurs de b. Donc b puissance x. Les fonctions b puissance x ici. Je vous mets y'y' donc la dérivée et la fonction elles-mêmes. Et on voit quand les valeurs de b changent, entre par exemple 1.5 puissance x jusqu'où j'ai été, alors 4 puissance x, on voit quand on traverse toutes les fonctions qu'il n'y en a qu'une seule qui est bien égale à sa dérivée y'. C'est-à-dire une seule où on voit que les deux cours se superposent parfaitement. Donc c'est intéressant, c'est pour ça qu'on dit que c'est la seule fonction, etc. Alors, les équations différentielles, à quoi ça sert ? On les rencontre tout le temps en physique. J'ai envie de faire deux exemples pour vous. Premier exemple en mécanique. Quand vous tirez un boulet de canon avec un certain angle comme ça, il va faire un genre de parabole et sa vitesse va dépendre de sa position à chaque instant. Et donc, comme on sait que la vitesse c'est un taux d'accroissement, c'est-à-dire que la vitesse c'est la différence de kilomètre que vous faites divisé par le temps. Donc c'est 130 km par heure par exemple. On aura en fait une variation de déplacement. Et ça va dépendre, cette variation de déplacement, du déplacement lui-même. C'est-à-dire que la vitesse va dépendre de l'endroit où je me situe sur la trajectoire du boulet. Le boulet ne va pas aussi vite au départ que tout en haut de sa trajectoire, que tout en bas. Celui-là il fait un truc genre, hop, là-bas il ralentit un petit peu et il repart très vite. Il y a une différence de vitesse selon l'endroit où je suis. Et comme la vitesse c'est en fait, hop, mon fauteuil encore, c'est en fait une dérivée de la position, j'ai ce genre de relation où j'ai en fait une relation entre la position du boulet et sa dérivée. La dérivée de la position qui est la vitesse. Voilà, donc là on aura une équation différentielle. Encore une fois, rappelez-vous, pourquoi ? Parce que vitesse c'est la dérivée de la position et qu'on a compris que la vitesse n'était pas la même à chaque instant, à chaque endroit. La vitesse n'est pas la même pour chaque position justement, donc les deux sont liés. Je vous montre un exemple plus zoomé que ça. Ici, donc si vous voyez le boulet, c'est le petit point rouge. Et l'idée, c'est qu'en fait ce point rouge-là, il n'a pas la même vitesse à chaque instant. Donc il a une vitesse beaucoup plus faible au niveau du maximum de sa trajectoire, c'est-à-dire au niveau du point violet qui est là-haut. Il a une vitesse qui est minimale, je veux dire. Donc il a une altitude maximale mais une vitesse minimale, ce qui fait genre... Et il repart, encore une fois, donc super effet spécial. Et voilà, on peut comprendre, donc sa vitesse initiale est très forte, vu qu'on le tire au début. Il a une vitesse plus faible et plus grande. Donc en fait, selon où je suis en termes de trajectoire, en termes de X si vous voulez, la vitesse n'est pas la même. C'est pour ça qu'il y aurait une équation différentielle entre la variation de la distance, c'est-à-dire la vitesse à chaque instant, et l'endroit où il se situe lui-même. Voilà, donc ça c'était une illustration un peu rapide. Deuxième illustration que j'aime beaucoup, la loi de refroidissement de Newton. Donc ça, c'est en thermodynamique. On le voit plutôt dans le supérieur, mais bon, écoutez, pourquoi pas. C'est une loi qui dit qu'en gros, quand vous posez votre thé bouillant sur une table, et bien il va se réchauffer spontanément. Attends, je dis n'importe quoi. En gros, quand vous posez votre thé bouillant à 100°C sur votre table, et que vous revenez au bout de deux heures, il n'a pas encore plus chauffé. Non, il s'est refroidi. C'est logique, en fait, il s'est fait influencer par la température de la pièce. Mais ce qui compte, pour comprendre sa vitesse de refroidissement, c'est l'écart de sa température avec la température de la pièce. En effet, d'ailleurs, si vous réfléchissez, vous avez un thé à 50°C, votre thé à 50°C, vous le mettez, je ne sais pas, dans un jacuzzi, ou comment ça s'appelle, un hamam à 80°C, il n'a pas à se refroidir votre thé. Si l'ambiance est à 80°C, votre thé va avoir tendance à se remonter. Sa température va augmenter jusqu'à 80°C. Pareil, donc je pose mon thé sur mon bureau, il est à 90°C, et je reviens dans deux heures. Quelle température est-ce qu'il aura ? Trois heures, si vous voulez. Il aura la température de la pièce, 20°C. Il ne va pas descendre en dessous. Il ne va pas non plus s'arrêter avant, il va toujours être influencé par la température, et il y aura des échanges d'énergie, il va perdre pas mal d'eau en vapeur au début, puis ensuite les molécules vont se bousculer, elles vont se fatiguer, si vous voulez. Et à terme, il y aura un équilibre qui va s'opérer avec les molécules de l'atmosphère. En gros, il se refroidit. Et ce que dit Newton, c'est que la vitesse de refroidissement dépend de l'écart à la température ambiante. Donc en gros, un thé à 100°C se refroidira beaucoup plus vite au départ que le moment où il est à 30°C, si la pièce est à 20°C encore une fois. Donc ça veut dire que, par exemple, mon thé à 100°C dans ma pièce à 20°C, il va aller très très vite de 100°C à 70°C, mais le prochain saut de 30°C qu'il va faire, de 70°C à 40°C, il va le faire beaucoup plus lentement. Ça, ça se traduit en équation différentielle. Le taux de variation de la température dépend, donc dT sur dT, dT sur dT, donc variation de la température au cours du temps, dépend de l'écart de température entre mon mug à l'instant T et l'environnement. Donc si à l'instant T égale, je sais pas, au tout début, il est à 100°C, sa vitesse de refroidissement est très élevée, parce que sa température 100°C et moins l'environnement est très élevée. Mais dès qu'on avance un petit peu dans le temps, il aura commencé à refroidir, on arrive à 70°C par exemple, sa vitesse de refroidissement à ce moment-là est beaucoup plus faible, parce que l'écart entre 70°C et la pièce est plus faible que l'écart entre 100°C et la pièce. Voilà, c'est ça qu'on vous dit avec Newton. C'est sympa, et vous avez compris l'idée générale entre ça et le boulet, c'est que dès qu'on a un phénomène où la vitesse d'évolution d'une grandeur va dépendre de sa position ou de sa valeur, donc ici soit la position soit la valeur de la température, alors on aura une équation différentielle. Je peux vous montrer un dessin un peu plus convaincant. Ici j'affiche la solution de cette équation différentielle. Donc regardez à partir de T égal à 0, la solution c'est une exponentielle en fait. Donc je vous trace deux choses. La solution, c'est-à-dire l'évolution de la température au cours du temps, on voit qu'elle chute dès le début et qu'elle va s'écraser sur une valeur finie, et je mets une petite asymptote là, la valeur finie. La valeur finie, c'est la température de la pièce. Ce que je vous disais tout à l'heure comme intuition, c'est qu'en effet on voit que le taux de refroidissement diminue avec le temps, c'est-à-dire que la pente du point diminue avec le temps. En effet, si je regarde là, quand j'augmente la température initiale, imaginons que la température initiale de mon thé c'est 100°C, très haut comme ça. Dès le début, je vois qu'il y a une pente très forte vers le bas. La pente de refroidissement est très forte parce que je suis très éloigné de l'équilibre. Mais si je me rapproche pas mal de l'équilibre, si je commence avec un thé à 25°C que je pose dans la pièce, là je vois qu'il va aller s'étaler à 20°C, mais beaucoup plus lentement. C'est ça qu'on disait tout à l'heure, mais en plus, encore pire, le cas du MAMM, ce serait celui-là. Si j'ai un thé à cette fois-ci 50°C ici, mais que la température d'équilibre de la pièce est 80°C, sa température va monter. Et plus je suis loin, plus je suis bas, plus je vais monter vite. C'est la même chose. Voilà, c'était une petite illustration de ce phénomène de Newton, mais c'est pour vous dire que c'est un peu partout. Soit quand on tire des boulets, soit quand on pose un thé sur votre table dans votre chambre. Voilà, on aura souvent des équations différentielles qui régissent les phénomènes physiques. En conclusion de ce chapitre, on va voir des trucs très simples. C'est les définitions de ce que c'est une équation différentielle. Donc on aura la première définition, le rappel sur la primitive. Ce que c'est une équation homogène, donc c'est une équation qui s'écrit y'ay, une équation différentielle linéaire d'endroit 1 en général. Ce sera ensuite les deux types de solutions qu'il faudra connaître par cœur, qui sont y'ay pour les homogènes, et y'ay pour une linéaire simple. Enfin, on verra qu'il y a aussi des solutions. Donc là, il n'y aura pas à apprendre par cœur le résultat, mais il y aura la méthode. y'ay plus phi, non pas plus b constante, mais plus phi de fonction quelconque. On verra ça dans le cours. Les méthodes principales, là, je ne vais pas chercher super loin. C'est y'ay, ay plus b, ay plus phi. Comment résoudre ça dans la pratique ? Je vous laisse là-dessus. Si vous avez des questions, toujours l'FAQ est là, n'hésitez pas. Et je vous retrouve dans le début des vidéos pour ce chapitre.

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