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Solutions Particulières
Les équations différentielles non homogènes se présentent sous la forme Y' = AY + F, où F est une fonction donnée. La solution à cette équation est la somme de deux termes : une solution homogène (Y' = AY) et une solution particulière (U' = AU + F). La solution homogène est déjà connue grâce au théorème précédent, et peut être écrite sous la forme k exp(AX), où k est une constante. La solution particulière, U, doit être trouvée en s'inspirant de la fonction F. Dans la plupart des cas, U sera de la même famille que F (par exemple, si F est une fonction affine, U sera de la forme AX + B). Dans les exercices plus complexes, on vous donnera des indications sur la famille à utiliser. Il est important de noter que la solution particulière n'est pas unique, mais l'ensemble des solutions sera de la forme U + V, où U est une solution particulière et V est une solution homogène. Il est également intéressant de noter que le cas des équations homogènes est inclus dans ce cas-ci, lorsque la fonction F est nulle. Dans ce cas, U sera égal à zéro. Trouver la solution particulière peut sembler complexe, mais en s'inspirant de la fonction F, on peut généralement trouver une solution de la même famille. Par exemple, si F est une fonction constante, la solution particulière sera également constante. Si F est une fonction quadratique, la solution particulière sera de la forme AX^2 + BX + C, où A, B et C sont des constantes à déterminer. Dans le cas où F est une constante, la solution particulière est simplement moins B sur 1. Il est important de maîtriser ce cas dans le programme. En conclusion, pour résoudre une équation différentielle non homogène, il faut trouver une solution homogène et une solution particulière, en s'inspirant de la fonction F. Avec ces deux termes, on obtient la solution générale de l'équation. En comprenant cette méthode, on peut résoudre la plupart des exercices de ce type. N'hésitez pas à poser des questions et à consulter l'FAQ pour plus de précisions.
