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Dans ce cours, nous abordons le calcul des erreurs sous une courbe à l'aide d'intégrales. Nous allons prendre deux exemples pour calculer ces erreurs, ce qui revient à calculer des intégrales.

Le premier exemple concerne l'erreur entre la courbe CF dont l'équation est f2x = x²-4, et l'axe d'étape 6 entre les droites d'équation x = -2 et x = 2. Mathématiquement, cela se traduit par l'intégrale de x²-4dx entre -2 et 2. Nous devons trouver la primitive de la fonction à l'intérieur de l'intégrale. Pour cela, nous posons f2x = x²-4, une fonction polynomiale pour laquelle nous trouvons facilement une primitive. Nous prenons la primitive de chaque terme, soit un tiers de x au cube moins 4x. Ensuite, nous utilisons le théorème fondamental pour trouver l'erreur, qui est égale à un tiers de x au cube moins 4x entre -2 et 2. Après les calculs, nous obtenons -32/3 pour l'erreur.

Le deuxième exemple concerne l'erreur entre la courbe et l'axe des abscisses entre les droites d'équation x = -5 et x = 1. Nous devons calculer l'intégrale de x²-4 entre -5 et 1. Encore une fois, la primitive de la fonction reste la même, seules les bornes changent. Après simplification, nous obtenons 18 pour l'erreur.

Il est important de noter que la variable d'intégration est x, ce qui signifie qu'elle ne peut pas être utilisée ailleurs dans la fonction. Dans le premier exemple, l'erreur est négative car la partie sous la courbe est située en dessous de l'axe des abscisses. Dans le deuxième exemple, la somme des parties positives et négatives de la courbe nous donne une erreur positive de 18.

Pour plus d'informations, vous pouvez consulter la FAQ.

On va désormais parler de calcul d'erreurs sous une courbe grâce aux intégrales. Dans cette méthode, on va prendre deux exemples et on va calculer des erreurs sous les courbes, ce qui revient vraiment à un calcul d'intégrale. Première erreur à calculer, c'est l'erreur comprise entre la courbe CF, dont l'équation est donnée par f2x égale x²-4, et l'axe d'étape 6 entre les droits de l'équation x égale moins 2 et x égale 2. Je l'interprète en termes mathématiques, c'est l'intégrale entre moins 2 et 2 de x²-4dx. Comme on le fait à chaque fois, tout l'enjeu c'est de trouver la primitive de la fonction à l'intérieur de l'intégrale. Je pose f2x égale x²-4. Là c'est un polynôme, je trouve très facilement une primitive. Je prends la primitive de chacun des termes, donc un tiers de x au cube moins 4x. Ensuite, j'utilise le théorème fondamental. Je sais que l'erreur comprise est égale à un tiers de x au cube moins 4x, que je prends entre moins 2 et 2 entre crochets. Je fais les calculs, je passe les détails. Attention, je vais le redire à chaque fois, on fait attention au signe moins. Là, typiquement, c'est un cas intéressant. Là, j'ai trois moins de suite. Je pense par expérience qu'il y a un tiers des élèves qui vont faire l'erreur, qui vont se tromper de signe. Ce que je vous dis, selon moi, c'est que je prends la valeur en deux, moins la valeur en moins deux, je fais une grosse parenthèse, et je mets tous les trucs, quitte à le faire en brouillon, si vous ne voulez pas l'écrire, mais on l'écrit proprement. Et là, je fais le calcul, il y a trois moins, ça fait plus, etc. Mais sinon, franchement, on ne s'en sort pas compte. Je vérifie quand même que je n'ai pas fait l'erreur, parce que sinon ce serait terrible. Plus deux tiers, moins huit. J'ai un bug là. Le deux tiers de huit, je l'ai. Oui, ça fait trois moins, pardon. J'ai eu un petit bug. Donc c'est bon, ça fait bien ça. Finalement, ça fait moins trente-deux tiers pour l'erreur. Je vous ai fait un petit graphique, comme ça on voit bien ce que c'est. Finalement, c'est l'erreur entre moins deux et deux. C'est toute cette partie-là. On voit qu'elle est sous l'axe de la piste, donc elle est négative. C'est normal que je trouve moins trente-deux tiers. N'oublions pas que c'est l'erreur algébrique avec les intégrales. Donc l'erreur, elle vaut moins trente-deux tiers, et l'absolue, elle vaut trente-deux tiers. Petite remarque pour les dés. Cette information-là est très importante, ça me donne la variable d'intégration. Alors là, je n'ai pas trop d'hésitation, je sais que c'est x, mais c'est ce qui fait que la variable d'ici ne peut pas être là. C'est une variable locale. Donc si ici j'ai un x et que je dois faire une fonction, quelque part ici ça ne peut que être t, ou autre chose. En tout cas, ça ne peut pas être x, je ne peux pas être à la fois. C'est une variable locale. Ça veut dire que x varie entre moins deux et deux. Je ne peux pas dire que x varie entre moins deux et x, ça ne veut rien dire. Donc ça, il faut faire très attention, on le verra dans les prochains exemples. Donc là on a une erreur négative. Maintenant, deuxième erreur. L'erreur b comprise entre la courbe et l'axe des abscisses entre les droites d'équation x égale moins cinq et x égale un. J'ai compris comment ça marche. Là, je fais l'intégrale de moins cinq à un de x carré moins quatre. C'est la même primitive, évidemment, ça ne change rien. Les bornes, ça ne va pas changer la primitive. Le calcul change. Et quand je simplifie, je trouve dix-huit. Là, comment c'est un peu plus compliqué. Je vous ai retracé la même courbe entre moins cinq et un. Là, on voit qu'il y a une partie de la courbe de l'erreur positive et une partie qui est négative. La somme des deux. Là, on voit visuellement que la partie positive est plus grande. Et donc, au final, ça nous fait dix-huit. Quand on simplifie les calculs. Voilà pour les calculs d'erreurs grâce aux primitives. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à aller dans l'FAQ.

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