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Dans ce cours, nous abordons le calcul de la valeur moyenne d'une fonction. Nous avons deux exemples avec des fonctions différentes et des intervalles légèrement différents. 

La valeur moyenne est l'intégrale de la fonction sur l'intervalle, divisée par la largeur de cet intervalle. Dans notre exemple, la largeur de l'intervalle est de 4 (2 - (-2)). 

Pour la première fonction f, nous trouvons une primitive h en utilisant le théorème fondamental. En faisant les calculs, nous obtenons 13/3 comme résultat pour l'intégrale de f sur l'intervalle. 

Pour la deuxième fonction g, nous devons d'abord trouver une primitive de g en utilisant la méthode du quotient. Nous remarquons que nous avons un quotient avec un coefficient manquant, mais nous le faisons apparaître en multipliant par 1/2 * 2. La primitive de g est alors 1/2 ln(|x² - 3|). 

En appliquant la définition de la valeur moyenne à g, nous trouvons l'intégrale de g sur l'intervalle et effectuons les calculs nécessaires. Nous obtenons une expression avec un ln de (16 - 3), que nous ne pouvons pas simplifier davantage. 

En résumé, le calcul de la valeur moyenne d'une fonction consiste simplement à appliquer la définition et à effectuer un calcul intégral.

On va maintenant voir comment on fait un calcul de valeur moyenne pour une fonction. Donc on a deux exemples dans cette méthode, une première fonction f, une deuxième fonction g, et les intervalles sur lesquels on fait la moyenne ne sont pas exactement les mêmes. Donc déjà c'est quoi une valeur moyenne ? La valeur moyenne en fait c'est l'intégrale sur l'intervalle, c'est l'intégrale de ma fonction sur l'intervalle divisé par la largeur de l'intervalle. Donc typiquement, la largeur de l'intervalle ici entre moins de 2, ça fait 4. 2 moins moins 2, ça fait 4. Donc voilà le calcul que je vais faire. Evidemment ça, ça ne pose jamais de problème, c'est juste un facteur multiplicatif. Donc le problème c'est toujours le même, c'est de déterminer la primitive, une primitive de la fonction intégrale à l'intégrale. Donc je pose h égale à x² plus 3, grand H, bon là c'est facile, c'est un tiers de x³ plus 3x, c'est une primitive de petit h. Donc j'utilise mon théorème fondamental, je n'oublie pas le un quart, je fais mes calculs, donc comme d'habitude, on fait attention au moins ici de ne pas se tromper. Moi j'écris à chaque fois vraiment, je ne fais pas les calculs dans ma tête, je pose directement, je fais les calculs dans ma tête une fois que c'est écrit noir sur la feuille, comme ça c'est beaucoup plus simple. Et donc je trouve que ça fait 13 tiers. Voilà pour la première intégrale. Maintenant, on veut la valeur moyenne de g, sachant que g c'est x sur x²-3, et donc la largeur de l'intervalle c'est 4-e, donc je fais 1 sur 4-e, fois l'intégrale de e à 4 de x sur x²-3. Donc là, toujours, comme d'habitude, la difficulté c'est dans le calcul d'une primitive de g, donc là qu'est-ce que je remarque ? Je me dis, ah ça c'est un peu un quotient, un quotient, il y a de fortes chances qu'en m'emmenant à calculer une intégrale, je vois de la forme u' sur u. Là, c'est presque ça quoi, sachant que si il me manque c'est le 2, comme ça ça serait parfaitement u' sur u, bah c'est pas grave, je le fais apparaître, je dis que c'est 1 demi fois 2, et voilà, et là j'ai bien ma forme u' sur u, avec u qui est la forme x²-3. Et ça je sais que ma primitive c'est ln de valeur absolue de u. Donc très bien, une primitive de la fonction que j'appelle k, k de x égale x sur x²-3, c'est 1 demi de ln de valeur absolue de x²-3. Donc j'intègre sur l'intervalle, alors oui, là il faut se débarrasser de la valeur absolue qui est un peu gênante, où on est ? Là on intègre, mon primitive c'est de e à 4. Ok, donc de e à 4, qu'est-ce qui se passe ? De quel signe est x²-3 ? En fait, la plus petite valeur c'est e, qui est plus grand que racine de 3. Donc x est compris entre, là j'aurais pu mettre mais ça n'a pas d'intérêt, x est compris entre e et 4. Donc je le passe au carré, ça ne me fait que 3 plus petit que e² plus petit que x², et du coup j'ai bien x²-3, x² qui est supérieur à 3 donc x²-3 qui est supérieur à 0. Donc la valeur absolue je peux la faire sauter, c'est x²-3, pas besoin de la valeur absolue, sur l'intervalle considéré, qui est e4. Donc ça va être plus simple. Donc là maintenant ce n'est plus d'aller à l'application numérique avec mon théorème fondamental, je fais les calculs, il y a du ln qui apparaît. Bon, mon ln de 16-3 je pourrais éventuellement le simplifier, ça me fait du 13, c'est vrai que j'aurais pu, mais en dessous je ne peux rien faire. J'ai juste la propriété que ici ln de a, mon ln de b ça fait ln de a sur b, et je ne peux pas faire quelque chose de plus, mais donc, voilà, pour cette expression qui n'est pas hyper jolie, mais j'ai son expression explicite. Voilà pour des calculs de valeur moyenne de fonction. Il suffit juste d'appliquer la définition et ça revient à un simple calcul d'intégral.

Calcul Valeur Moyenne

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