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Algèbre

Complexes : vision algébrique

Le cours traite du concept de conjugué d'un nombre complexe. Le conjugué de z = a + ib est noté z-bar et égal à a - ib. Le cours explique les propriétés du conjugué, à savoir que le conjugué de la somme de deux nombres complexes est égal à la somme des conjugués, que le conjugué du produit de deux nombres complexes est égal au produit des conjugués, et enfin que le conjugué du quotient de deux nombres complexes est égal au quotient des conjugués.

Ensuite, le cours présente une équation à résoudre pour z, en utilisant le concept de conjugué. Pour cela, il introduit a et b tel que z = a + ib, et à partir de là, il effectue des calculs pour identifier les parties réelles et imaginaires de l'équation, ce qui permet de résoudre pour a et b et de trouver la solution.

Le cours conclut en soulignant qu'il existe d'autres astuces plus avancées pour résoudre ces équations, mais la méthode basique de l'introduction de a et b reste valide et simple à utiliser.

Le cours invite les étudiants à poser des questions et se termine en annonçant la prochaine vidéo.

Petite méthode très classique, très simple, mais qui me permet d'introduire un petit rappel aussi sur ce que c'est le conjugué. Je vous le mets à la fin ici. Petite définition, quand on a z égale a plus ib à un complexe, on appelle z-bar, et on appelle ça son conjugué, la quantité a moins ib. C'est l'espèce de quantité qu'on utilise pour les méthodes de quantité conjuguée notamment. Il y a des propriétés très simples pour ce complexe, pour cette opération de conjugaison. C'est de dire que le conjugué de z plus z prime, c'est le conjugué de z plus le conjugué de z prime. Maintenant je vais le dire avec bar. z plus z prime bar, c'est z-bar plus z-prime-bar. Très facile à démontrer, c'est automatique. Un peu plus long à démontrer, mais ça se fait aussi le produit. z-z-prime-bar, c'est z-bar fois z-prime-bar. Et le quotient. En fait, vous avez un peu tout ce que vous voulez. Et tout est assez simple à démontrer. Voilà, donc ça c'est ce qu'on appelle le conjugué. Je vous l'ai montré ici. On en parlera un petit peu plus quand on fera le lien avec les complexes et la géométrie. Ici, je vais vous montrer cette petite équation, on vous dit résoudre pour z. Donc il faut qu'on trouve en gros partie réelle, partie imaginaire. Première remarque, vu qu'on a une quantité différente de z et de z-bar, je ne vais pas pouvoir jouer avec certaines propriétés. Donc ça c'est pour ceux qui sont peut-être plus avancés, du type d'utiliser z plus z-bar et z moins z-bar. Vu qu'en gros, on a juste 2z et 5z-bar qui sont des quantités différentes de z et de z-bar, il n'y a qu'une méthode qui est la méthode simple et bourrine. C'est-à-dire introduire a et b tel que z égale a plus ib. Quand je fais ça, qu'est-ce que j'écris ? 2z plus 5i égale 5z-bar moins 3. Ok, ben 2 fois a plus ib plus 5i égale 5 fois a moins ib moins 3. Je fais quelques calculs. Méthode de base, j'identifie ici les parties réelles et les parties imaginaires. Ça me donne ce petit système. J'ai plus qu'à résoudre pour a, pour b. Je trouve ma solution. Voilà, donc c'était plus une remarque sur... Il y aurait des astuces, peut-être des astuces dont on parlera plus tard dans le cours sur les complexes, mais si vous les avez déjà vues, utilisons ça. Elles n'interviennent pas ici. Pour ceux qui ne savent pas de quoi je parle, dites-vous juste que, en gros, quand il y a ce genre d'équation, c'est très bien et très valide de faire la méthode basique d'introduire a plus ib. Voilà, je vous retrouve dans la prochaine vidéo. Posez vos questions si besoin. Bye bye.

Rappel : le conjugué

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