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Algèbre

Complexes : vision algébrique

Dans ce cours, nous étudions les polynômes du second degré dans les nombres réels. Si le discriminant Δ est positif, cela signifie qu'il existe deux solutions réelles distinctes. Si Δ est nul, il existe une seule solution réelle qui touche la courbe de la parabole. Si Δ est négatif, cela signifie qu'il n'y a pas de solution réelle. Cependant, si nous élargissons notre domaine aux nombres complexes, même lorsque Δ est négatif, il existe des racines imaginaires conjuguées. Nous utilisons une formule pour factoriser les polynômes du second degré, où nous introduisons le discriminant Δ. Selon le signe de Δ, nous pouvons ou non factoriser le polynôme. Lorsque Δ est positif, nous pouvons utiliser une identité remarquable pour factoriser le polynôme. Lorsque Δ est négatif, nous sommes dans le domaine des complexes, où nous utilisons une propriété importante: a² + b² = (a + bi)(a - bi). En appliquant cette formule, nous obtenons les solutions complexes du polynôme. À titre d'exemple, nous calculons Δ pour un polynôme donné et trouvons les solutions complexes correspondantes. En conclusion, nous soulignons l'importance de la propriété des complexes et nous sommes disponibles pour répondre à toute question supplémentaire.

On avait dans les nombres réels, pour un polynôme ax² plus bx plus c, soit Δ positive strict est donc deux solutions réelles, soit on trouvait qu'il y avait zéro solution réelle quand la parabole avait tendance à être comme ça ou comme ça, ne croisez pas la SDOx, ou bien, cas étrange, on calculait un petit Δ qui valait zéro dans ce cas, on avait une seule solution réelle qui touchait la courbe ici. Ça c'est des petits rappels très rapides de secondes premières si vous voulez. On vous disait, vous calculez une quantité Δ qui valait b²-4ac, et selon le signe de ce truc-là, qui était le Δ, vous saviez s'il y avait des racines. Il se trouve, c'est un truc très important des complexes, que si on élargit notre horizon des racines potentielles de ce polynôme au monde des complexes, même quand Δ est négatif, on trouve des racines. Elles seront juste, imaginaires, et en l'occurrence conjuguées. Petit exemple ici, mais avant ça, démonstration de ce fait assez rapide pour ceux qui s'intéressent. Je reprends un peu le résultat final d'une factorisation pour les polynômes du second degré au lycée typique, en seconde première. Vous avez P2x égale, on trouvait à la fin de la fin, cette factorisation, A fois cette forme canonique, si vous voulez, à peu près, A fois x plus b sur 2a, le 2², moins Δ sur 4a², donc Δ étant b²-4ac, mais vu que c'est embêtant à écrire, b²-4ac, on appelle ça Δ. On disait, selon le signe de Δ, je vais pouvoir factoriser ou pas, si Δ était positif, ce ne sera pas le cas ici, mais quand Δ est positif. Je pouvais écrire tout ça comme un racine de Δ sur 2a, le tout au carré, et j'avais un espèce de A²-B², identité remarquable, ça pouvait se factoriser, c'est cool. Ici, Δ est négatif. C'est le cas où on disait, vu que Δ est négatif, j'ai une somme de deux trucs positifs, on l'écrivait comme ça, plus quelque chose de positif, vu que Δ est négatif, moins Δ est positif, ça, c'est non factorisable. On bloque, on a donc une courbe, si A est positif ici, qui est au-dessus de la courbe, toujours positive, ou en dessous de l'axe aux x, je veux dire, toujours négative. Bon, il se trouve que nous, si on l'écrit un peu comme ça, j'ai une somme de deux carrés. La somme ici ne m'arrangeait pas. Nous, on est dans le monde des complexes maintenant. Dans le monde des complexes, à savoir par cœur très important, on a la propriété suivante. Pour A et B de réel, A² plus B² égale A plus IB fois A moins IB. C'est factorisable. Et donc, à fortiori, j'ai donc A² plus B² égale 0, qui va me donner soit A plus IB égale 0, soit A moins IB égale 0. C'est très bien. Quand je l'applique ici, enfin pas ici, mais à la démonstration, j'obtiens, donc j'appelle Z les x solutions, parce qu'il est complexe, Z1 égale, on ne répète pas tout, on dit que x plus B sur 2A, c'est égal à IB ou moins IB, et on obtient x égale moins B sur 2A plus I fois racine de moins delta sur 2A, ou moins I de racine de moins delta sur 2A, qui est d'ailleurs le conjugué de suivant. Démonstration assez simple. Qu'est-ce que je fais ensuite ? Petit exemple pour vous montrer. Je calcule d'abord le delta. S'il est positif, on ne se trompe pas la tête. Delta, ça fait moins 3 au carré, moins 4 fois 5 fois 2, c'est 4 fois 5 fois 2, ok. Il y a le moins 31, négatif. Moins 31, que je peux écrire I racine de 31 le tout au carré, parce qu'I carré vaut moins 1. On met ça sous le formulaire comme un carré parfait, et j'obtiens tout de suite Z1 égale, j'applique la formule ci dessus, 3 plus I racine de 31 sur 10, ou 3 moins I racine de 31 sur 10. Il n'y a peu à réfléchir honnêtement. Mais voilà, je voulais vous faire la petite démonstration rapide en partant, en vous rappelant ce fait sur les complexes qui est très très important. Et je vous retrouve, si vous n'avez pas de questions, en tout cas si vous en avez posé dans les commentaires, et je pourrais peut-être détailler plus s'il y a besoin. Je vous retrouve sinon pour une prochaine vidéo.

Second degré Δ<0

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