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Algèbre

Complexes : vision géométrique

Ce cours résume comment associer un nombre complexe à un point du plan en utilisant les coordonnées A et B, correspondant à la partie réelle et imaginaire du nombre complexe. On peut également associer un vecteur OM à un point M et, de la même manière, un point M à un nombre complexe Z. Ainsi, un nombre complexe Z peut être représenté par un point du plan égal au vecteur OM. De plus, on peut traiter un point comme un nombre complexe et extraire un nombre complexe à partir d'un point dans le plan. Une autre propriété importante est que pour un vecteur AB du plan, on peut associer un nombre complexe Z égal à ZB-ZA, où ZB et ZA sont les affixes respectives des points B et A. Cette propriété permet de déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme en comparant les affixes des vecteurs AB et DC. Pour illustrer ce concept, un exemple pratique est présenté, où l'on doit trouver les coordonnées d'un point D pour que ABCD soit un parallélogramme. En utilisant les affixes des vecteurs AB et DC, on résout l'équation et trouve les coordonnées de D. Cette méthode est équivalente à l'utilisation des vecteurs et permet d'appréhender le sujet de manière progressive.

Petit point de cours très très rapide pour juste faire le lien entre géométrie et nombre complexe. Un nombre complexe, ça a un petit peu deux dimensions. La partie réelle et la partie imaginaire. Donc ce n'est pas absurde de se dire, en fait, je pourrais dire que un nombre complexe s'associe à un point du plan. Quel point ? Vu que j'ai une partie réelle A et une partie imaginaire B, je pourrais dire un point de coordonnées A et B. Et donc dès qu'on va considérer un point Z qu'on dessine dans le plan, on va dire qu'on a un axe imaginaire. C'est-à-dire là où on met sa partie imaginaire comme ordonnée et un axe partie réelle, c'est-à-dire l'axe des abscisses, pour le point. En terme de vocabulaire, quand on aura un point M qui est associé à un nombre complexe Z, on dira que Z est l'affixe du point M. Donc M, il a d'un côté des coordonnées A, B, si vous voulez, mais il a aussi une affixe A plus IB. De la même manière, on pourra dire, ça je vais réécrire ici, qu'on peut associer le point O, si j'ai le point OM comme ça, on pourra associer OM, le vecteur. De la même manière qu'on associe un point au vecteur OM, on dit que M, le point, est de coordonnées A, B, le vecteur OM est aussi de coordonnées A, B, le point M, le vecteur OM vont être liés à l'affixe Z, A plus IB. On peut associer à tout nombre complexe Z, un point du plan égale le vecteur OM. Et on peut aussi dire, dans l'autre sens, que si on a une certaine géométrie, on pourrait traiter le point comme un nombre complexe. On pourrait extraire d'un point, d'un plan, un nombre complexe, et voir s'il n'y a pas moyen de jouer entre les deux pour aller plus vite dans certaines démonstrations notamment. Deuxième propriété qui va être importante que je vous présente tout à l'heure, enfin que je vous montrerai dans deux secondes, on avait, de manière très basique, quand on a des coordonnées pour les points B et A, je vous demande de vous focus ici, on avait les coordonnées du vecteur AB qui étaient XB-XA, YB-YA. De la même manière, pour un vecteur AB du plan, on pourra lui associer un complexe Z, on va dire que Z associé au vecteur AB sera ZB-ZA. Les affixes respectives des points B et A. Il y a vraiment une similitude très forte avec les vecteurs, c'est pour ça qu'il y a des règles comme ça, très pratiques. Ces règles sont très basiques et je voulais vous les illustrer avec un premier petit exemple pratique et appliqué, un genre de petit exercice de cours. On vous donne trois points ABC dans le plan complexe, avec trois affixes respectives, A, B et C. On comprend qu'on pourrait associer ces trois points à trois complexes. Le point A, c'est donc coordonnée 2, 1. Ici, on voit ça. Le point B, c'est (-1, 1). Et le point C, c'est 0, plus 3i, donc ça serait 0, 3. Déterminer le point D tel qu'ABCD sur un parallélogramme, ça nous rappelle tout de suite la règle du parallélogramme, tout bêtement. On va aller chercher ABCD parallélogramme, si et seulement si AB égal DC. Ça, c'est de la seconde, j'imagine, peut-être de la première. C'est très basique sur les vecteurs. Traduction en complexe, on utilise cette propriété, et on dit qu'on a ici ZAB qui est calculable, le Z, l'affix associé au vecteur AB. C'est ZB-ZA, je prends les valeurs qu'il y a ici, je fais (-1, i), (-2, i). Je ne me trompe pas dans les calculs et je trouve (-3, 2i). Ensuite, je vais prendre ZDC, et je prends ZD, je le laisse inconnu, C, je l'ai, ça va valoir ZC-ZD. On ne se trompe pas, on inverse bien comme ici. Ça fait 3i-ZD. Et on me dit, moi je veux AB égal DC les vecteurs, je peux utiliser l'équivalence vecteur-affix de vecteurs, et écrire, je vais résoudre ça comme ça. C'est un parallélogramme, si et seulement si AB égal DC, si et seulement si les affixes respectifs de ces deux vecteurs sont égales, je les ai calculés au-dessus, (-3, 2i), (-3i-ZD). Magnifique, je trouve ZD égal 3, plus 5i. Donc je trouve un point D de coordonnées 3 et 5i. Voilà, très basique. Là vraiment, c'est un exode d'intro dans le sujet, qui est un parallèle parfait, on pourrait même retorquer, écoute, on a les vecteurs, pourquoi tu m'embêtes avec ce truc, je vois que c'est une autre manière de voir, mais ça ne sert à rien. Ça servira à l'avenir, mais là, en tout cas pour les trucs les plus basiques, c'est une méthode parfaitement équivalente à l'usage de vecteurs. Je vous l'introduis parce que c'est la manière la plus douce de l'introduire, parce qu'on comprend bien, on peut voir par rapport à ce qu'on connait déjà. N'hésitez pas à poser des questions si vous en avez en commentaire, et sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo. Bye bye !

Affixe, vecteurs et complexes

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