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Algèbre

Complexes : vision géométrique

Ce cours traite de l'écriture trigonométrique et exponentielle pour un nombre complexe. L'objectif est de décrire un point M en utilisant les coordonnées cartésiennes (A et B) ou en utilisant le module du point M (norme du vecteur OM à l'origine) et l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur OM. Pour passer de l'écriture A + IB à l'écriture avec le module de Z (distance à l'origine) et l'angle θ, on peut exprimer A et B en fonction de Z et θ. A = module de Z * cosθ et B = module de Z * sinθ. En factorisant par le module de Z, on obtient l'écriture trigonométrique A + IB = module de Z * (cosθ + I sinθ). Le module de Z doit toujours être positif. Ensuite, on introduit l'écriture exponentielle, qui est plus compacte et pratique. On appelle cette quantité cosθ + I sinθ, E2iθ. On remarque que E2iθ satisfait certaines propriétés similaires à celles de l'exponentielle réelle. Par définition, l'écriture exponentielle E2iθ est égale à cosθ + I sinθ.

Petite vidéo de cours sur l'écriture trigonométrique et l'écriture exponentielle pour un nombre complexe. Je vais reprendre des idées que j'ai déjà développées dans les deux vidéos de méthodes classiques précédentes, le cours que j'ai fait sur reconnaître une médiatrice, puis la vidéo sur reconnaître un cercle. On a dit que pour un point M, il y avait deux manières de décrire un point M, soit avec des coordonnées qu'on appelle cartésiennes, abscisses en données A et B, donc on associe une affixe, un complexe A plus I B, soit avec la distance de ce point M, c'est-à-dire la norme du vecteur OM, à l'origine, qu'on appelle dans le nom des complexes module de Z, l'affixe, et l'angle qui est entre l'axe des abscisses et le vecteur OM. Bon, j'ai envie d'exprimer mon Z égale A plus I B avec tous ces nouveaux éléments. Est-ce qu'il est possible d'exprimer A et B avec les nouveaux éléments que sont Z, le module de Z, et θ ? Parce qu'on me dit, j'ai deux, normalement je pourrais faire un peu un lien. Donc j'ai le module de Z qui vaut racine de A2 plus B2, très bien. J'ai ensuite dans cette figure un cercle en rectangle, très basique, on le voit tout de suite. Est-ce que je peux exprimer facilement, par exemple, cosinus et sinus θ ? Oui, cos de θ, c'est quoi ? C'est ce côté sur l'hypoténuse, donc c'est A sur le module de Z. Donc si je mets le module de Z de ce côté-là, je trouve que petit a s'exprime facilement en fonction de Z et θ. A sur le module de Z vaut cosθ, donc A vaut module de Z fois cosθ. Très facile. De la même manière, B est ici, je vois que c'est le côté opposé, donc je peux écrire que sinθ c'est ça divisé par ça. Donc sinθ, si vous laissez B sur le module de Z, donc je trouve tout de suite en multipliant chaque côté par le module de Z, B égale module de Z sinθ. Là c'est bon, c'est comme ça que je peux faire la transition entre l'écriture A plus B et l'écriture avec uniquement le module, la distance à l'origine, et l'angle. Il est faisable d'avoir un peu ce qu'on appellerait un genre de bisection entre les deux écritures. Je vais le faire, je remplace maintenant mon A et mon B. Je vois que ça fait A plus B, ça fait Z cosθ plus module de Z sinθ fois I. Je factorise par module de Z et j'obtiens ce qu'on appelle la forme trigonométrique. Le module de Z doit toujours être positif, c'est très important. Des fois on pourra vous faire des pièges où on vous écrit quelque chose qui ressemble fortement à ça, mais avec un "-3 devant". Ça sera un piège très classique, il ne faudra surtout pas se précipiter, il faudra dire attention, attention. J'ai la forme trigonométrique par définition quand j'ai le module ici, donc quelque chose de positif. On le verra plus tard à nouveau. Et ensuite j'ai θ qui est un argument. Mais comme vous avez fait de la trigo depuis la première, vous savez qu'un argument n'est en fait pas unique. Parce que si je trace le cercle trigo, j'ai cet angle-là qui vaut aussi le même angle plus 2π. Donc c'est non unique à 2kπ près. Mais on pourra choisir en général de prendre celui qui est entre 0 et 2π si on veut. Très bien. La forme exponentielle là-dessus c'est quoi ? La forme exponentielle, moi j'aime bien le résumer comme en gros c'est un truc pratique. Parce qu'on pourrait très bien faire tout avec uniquement cette forme. C'est juste que c'est honnêtement casse-bonbon à écrire à chaque fois. Si je dois écrire à chaque fois cosθ plus i sinθ, on se dit peut-être qu'une écriture plus compacte, qui est assez informative dans son écriture et au vu des propriétés de cette quantité, pourra nous aider. Donc là je vais vous montrer une propriété assez capitale de cette quantité cosθ plus i sinθ. On va comprendre d'où vient cette notion d'exponentielle. Donc en gros c'est pratique, oui. Pourquoi on va appeler ça exponentielle ? C'est un mystère qu'on va résoudre tout de suite. Quel est le comportement de cette quantité ? Je vais l'appeler f de θ. Donc là je ne rentre pas dans le détail parce que ce que je vous fais c'est un peu hors programme entre guillemets vu que je parle d'une fonction f qui a pour image des complexes. Ce n'est pas du tout... ça s'appelle l'analyse complexe ce genre de truc. On ne l'utilise pas en terminale mais je vais juste vous dire, je prends cette quantité f de θ. Je l'appelle f histoire de ne pas la réécrire dix fois. Quel est le comportement de cette quantité f ? Je remarque plusieurs choses. Deux choses en fait. Je remarque que f de 0, si je prends l'angle 0, ça fait 1. Cos de 0 c'est 1, i sin 0 c'est 1 plus 0, ça fait 1. Deuxième truc intéressant, c'est si je fais la multiplication de cette quantité par une autre quantité similaire pour un angle θ'. Que se passe-t-il dans ce cas-là ? Si je fais la multiplication des deux, je multiplie cette quantité avec θ et la même quantité avec θ'. Bon, je développe. Alors là j'utilise mes grandes compétences en développement. Je réorganise en partie réelle, partie imaginaire. Je mets tous les éléments avec du i ici. Les éléments sans i, c'est-à-dire celui-ci plus celui-ci puisque i² vaut moins 1, donc ça fait ça. Et là j'utilise mes formules trigo. Les formules trigo, il faut les connaître. Ce sont des formules qui sont au programme, en terminale. Je sais que ça en fait, ça vaut cosinus de θ plus θ'. Exactement cette quantité-là. Et je reconnais aussi que cette quantité ici vaut sinus de θ plus θ'. Et donc quand j'écris de manière plus compacte, donc ces deux formules-là sont à connaître, je me rends compte qu'en fait le produit fθ fois fθ' me redonne un genre de structure comme ça. Mais cette fois-ci avec θ plus θ'. Donc en fait j'ai fθ fois fθ' égale f de θ plus θ'. Et bien ça, ces deux propriétés, ça ressemble vachement aux propriétés d'une puissance dans le grand R. Les propriétés de l'exponentielle dans le grand R. Rappelez-vous, exponentielle de a fois exponentielle de b, ça fait exponentielle de a plus b. Donc ça ressemble à l'exponentielle. Exponentielle de zéro, ça fait 1. Vous savez, ça ressemble aussi aux puissances qu'on voit en troisième, mais ça ressemble à l'exponentielle. C'est juste pour cette ressemblance qu'on va décider d'appeler cette quantité-là, qui est donc un nombre complexe cosθ plus i sinθ avec une partie réelle et une partie imaginaire. C'est juste que c'est chiant à écrire, en gros donc on va se dire, on va lui donner une petite écriture compacte liée à l'exponentielle parce qu'on a ces propriétés qui sont vérifiées. Donc c'est pas du tout l'exponentielle réelle, faut pas mélanger les deux, mais ça va être lié. Donc on pose, c'est bien ce que je dis, parce que je veux surtout pas que vous croyez que c'est genre une vraie exponentielle, on pose par définition que l'écriture exponentielle avec un petit i, comme ça, θ, vaut cosθ plus i sinθ. Donc on appelle cette quantité E2iθ parce que c'est pas absurde vu qu'on a les propriétés suivantes. Le produit devient l'exponentielle de la somme, on a ce truc-là qui vaut 1 et on a E2iθ module, enfin module conjugué qui vaut E2-iθ. Facile à vérifier ici.

Forme trigo, Forme expo

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Affixe, vecteurs et complexes