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Algèbre

Divisibilité et division euclidienne

Dans cet exercice, nous souhaitons démontrer que le produit de 4 entiers consécutifs augmentés de 1 est un carré parfait. Pour ce faire, nous allons réécrire cette consigne de manière algébrique. Nous posons le but de montrer l'existence d'un cas appartenant à n, un entier naturel, tel que le produit des 4 entiers consécutifs (n x (n+1) x (n+2) x (n+3)), augmenté de 1, est égal à k², où k est un autre nombre au carré.

En développant cette expression, nous obtenons n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1, qui contient 5 termes. Sachant qu'une forme de carré parfait a au plus 3 termes après simplification, nous pouvons conclure que ce n'est pas le cas ici. Cependant, nous explorons la possibilité que certains de ces 5 termes soient en réalité 2 termes regroupés. Par exemple, 6n³ pourrait être équivalent à 2n³ + 4n³, de même pour 5n² et 6n².

Nous remarquons que ces 5 termes peuvent être écrits comme une triple somme au carré. En identifiant les termes, nous trouvons que le plus grand degré est n⁴, que nous associons à a² (a étant égal à n²). Le plus petit degré, équivalent à c², est 1, ce qui signifie que c est égal à 1.

Maintenant, nous cherchons à identifier les termes avec b. Nous constatons que 6n³ peut être exprimé comme 2ab. Si nous avions choisi 2bc, nous aurions trouvé b = 3n³, ce qui n'est pas possible car n² est le plus grand degré.

Finalement, nous trouvons que b est égal à 3n.

En réécrivant l'expression initiale en utilisant ces identifications, nous obtenons que le produit des 4 entiers consécutifs augmentés de 1 est égal à (n² + 3n + 1)², ce qui est bien un carré parfait.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer que le produit de 4 entiers consécutifs augmentés de 1, c'est un carré parfait. Alors, petit rappel, un carré parfait, c'est tout simplement un carré d'un nombre entier. Donc là, on va réécrire cette consigne de façon un peu plus algébrique, c'est-à-dire on va poser les choses. Donc, le but, finalement, c'est de montrer qu'il existe un cas appartenant à n, c'est-à-dire un entier naturel, tel que le produit de 4 entiers consécutifs, donc c'est n x n plus 1 x n plus 2 x n plus 3, augmenté de 1, donc plus 1, c'est égal à k², donc le nombre dont on a dit qu'il existe, du coup, au carré. Alors là, ce qu'on va faire, c'est on va tout simplement développer ça pour essayer de voir si on pourra dire que c'est une certaine écriture au carré. Donc on développe n x n plus 1 x n plus 2 x n plus 3 plus 1, ça fait, donc là, on va regrouper ces deux-là et ces deux-là, donc voilà, ça nous fait cette écriture-là, donc n² plus n x n² plus 5n plus 6, le tout plus 1, donc on va encore développer ce qui est dans la parenthèse, et à la fin ajouter 1, donc ça nous fait n4 plus 6n3 plus 11, n² plus 6n plus 1, donc là, on compte 5 termes. Alors, ce qu'il faut se dire, c'est que 5 termes, ça veut dire que ça ne va pas juste être une forme a plus b², parce que a plus b², si on dit que cette écriture-là, c'est de la forme quelque chose plus quelque chose au carré, il y aurait, après simplification, au plus 3 termes. Et étant donné que là, on ne peut pas simplifier plus, il y a 5 termes, ce n'est pas ça. Donc on va voir ce qui se passe si on a 3 termes au carré. Donc là, on rappelle la formule, a plus b plus c au carré, ça fait a² plus b² plus c² plus 2ab plus 2bc plus 2ac. Donc, on se dit, ça peut être une piste, parce que peut-être que ces 5 termes, il y en a, par exemple celui-ci ou celui-ci, qui sont en réalité 2 termes qu'on a regroupés. Par exemple, est-ce que 6n3, est-ce que c'est 2n3 plus 4n3, ou est-ce que celui-là, pareil, on ne sait pas, 5n² plus 6n². Voilà, c'est peut-être une piste à explorer. En tout cas, là, il y a 6 termes, il y en a 5, donc on n'est pas loin, on va essayer de voir si on pourrait écrire cette expression-là comme une triple somme au carré. Donc, si on fait ça, on va commencer à identifier un peu quels devraient être nos termes. Donc là, le plus grand degré, ici, c'est n puissance 4, c'est a², on aurait pu choisir b, on aurait pu choisir c, ce n'est pas grave, c'est symétrique, on va dire que nécessairement, c'est a², donc, ça veut dire que a est égal à n, carré, pardon. Ça veut dire que a est égal à n². n puissance 4 égale a², donc a est égal à n². Alors, on en identifie un autre, le plus petit, cette fois-ci, donc pareil, on aurait pu dire que c'est b², on dit que c'est c², voilà, ce n'est pas très important. Donc, si 1, c'est c², c'est c'est égal à 1. Et donc, maintenant, on va essayer d'identifier les termes où il y a du b. Donc, 6n³, on dit que c'est 2ab. Alors, pourquoi 2ab et pas 2bc ? Parce que si on dit que 6n³, c'est 2bc, étant donné que c, on a dit que c'est égal à 1, ça veut dire que nécessairement, b, c'est 3 fois n puissance 3. Et ça, c'est impossible, parce qu'on a dit que le plus grand degré, c'était a, c'était n². Donc, on ne peut pas dire que b, c'est 3 fois n puissance 3, parce que sinon, b², ce serait 3 fois n puissance 6, et on s'arrête à 4. Donc, c'est pour ça que nécessairement, 6n³, c'est 2ab. Et donc, maintenant qu'on connaît a, on va identifier très rapidement b, donc ça nous dit que b, c'est 3n, d'accord ? Bon, on divise par n², et il reste n, et on divise par 2, il reste 3, donc b, finalement, c'est 3n. Donc, on vérifie, on a bien que n puissance 4, plus 6n³, plus 11n², plus 6n plus 1, eh bien, on va le réécrire avec cette écriture-là, donc a² plus b² plus c², donc il fait n² plus, du coup, b², c'est celui-ci, on va l'identifier d'ailleurs tout de suite, hop, voilà. Donc ça, c'est a², ça, c'est c², ça, c'est b², ça, c'est 2ac, ça, c'est 2bc, et ça, c'est 2ab. Donc on a bien tous les termes qui nous intéressent, donc on peut regrouper ça sous un même carré, et dire que finalement, le produit des 4 entiers consécutifs augmentés de 1, c'est n² plus 3n plus 1, le tout au carré. Donc, c'est un carré parfait, parce que ce qu'il y a dans la parenthèse, c'est un nombre entier, et donc il est au carré.

Carré parfait

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