Home

MPSI/PCSI

Maths

Algèbre

Divisibilité et division euclidienne

Dans cet exercice, on nous demande de déterminer le reste de la division du nombre 96 842 par chacun des nombres 256 et 375. Pour cela, nous utilisons le calcul initial qui nous donne le résultat 96 842 = 256 x 375 + 842. Notons que le reste dans une division euclidienne doit être strictement plus petit que le quotient. Cependant, dans ce cas, 842 n'est pas plus petit que 256 ou 375, ce qui pose problème.

Pour résoudre ce problème, nous allons réduire uniquement le chiffre 842. La méthode consiste à faire la division euclidienne de 842 par 256 pour obtenir le quotient 3 et le reste 74. Ensuite, nous faisons la division euclidienne de 842 par 375 pour obtenir le quotient 2 et le reste 92. Cette fois-ci, les conditions de la division euclidienne sont respectées, c'est-à-dire que le reste est plus petit que le quotient dans les deux cas.

Nous utilisons ensuite ces résultats pour réécrire l'équation initiale. Ainsi, 96 842 devient 256 x 375 + 375 x 2 + 92. Nous factorisons ces termes par 375 pour obtenir 375 x 258 + 92. Cette nouvelle écriture respecte bien la division euclidienne, car le reste 92 est plus petit que 375.

En utilisant la même méthode, en réécrivant l'équation en utilisant cette fois-ci l'écriture pour 842, nous trouvons que 96 842 est égal à 256 x 378 + 74. Le nombre 378 est obtenu en ajoutant 3 fois 256 à 375.

Ainsi, le reste de la division euclidienne de 96 842 par 375 est 92, et le reste de la division euclidienne de 96 842 par 256 est 74.

Salut ! Dans cet exercice, on nous donne un calcul. On nous dit que 96 842, c'est égal à 256 x 375, plus 842. Et on nous dit déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96 842, par chacun des nombres 256 et 375. Alors, ce qu'on nous dit sans faire la division, c'est sans faire directement la division euclidienne du gros nombre par celui-là. En gros, il faut utiliser le résultat qu'on a ici pour trouver la division euclidienne du gros nombre par chacun des deux. Alors, ce n'est pas anodin qu'on nous donne ce produit, et qu'est-ce qui nous gêne finalement avec le 842 ? Parce que dans la division euclidienne, petit rappel, le reste doit être strictement plus petit que le quotient. Eh bien ici, si on considère que ça, c'est la division euclidienne, en fait, ça voudrait dire que 842, c'est le reste, mais le reste n'est pas plus petit que l'un ou l'autre des potentiels quotients. D'accord ? Si on dit que c'est pas 256, ce serait 256, le quotient, et si on dit que c'est la division par 375, on aurait dit que c'est 375, le quotient. Mais dans tous les cas, 842 n'est pas plus petit que 256 ou 375. Donc pour ça, on va réduire seulement 842. On va réduire 842, et l'idée derrière ça, c'est de se dire, si je réduis 842, mais que je fais sa division euclidienne par 256, je vais me retrouver avec 842 égale à 256 fois quelque chose plus quelque chose, mais du coup, je pourrais factoriser avec le 256 qui est là. Pareil avec 375. Et finalement, j'aurai la bonne division euclidienne. Donc on va l'écrire, et ça va être beaucoup plus limpide. Donc on fait la division euclidienne de 842 par 375. Rapidement, on voit que c'est fois 2, parce que si on fait 3 fois 375, on dépasse les 1 000, donc c'est juste fois 2, et donc il reste 92. Ensuite, on fait la division euclidienne de 842 avec 256. Cette fois-ci, il y en a 3, et il reste 74. Là, les conditions sont bien respectées, d'accord ? Le reste, il est bien plus petit à chaque fois que le quotient. Et on va utiliser ces écritures pour faire les divisions euclidiennes par 256 et par 375. Donc finalement, 96 842, c'est 256 fois 375, donc ça, ça ne bouge pas. Mais au lieu d'écrire plus 842, on écrit cette version-là. Donc c'est plus 375 fois 2, plus 92. Ensuite, comme je disais, on factorise ces deux-là par 375. Donc ça nous fait 375 fois 258, plus 92. Et là, c'est bien la division euclidienne, parce que 92 est plus petit que 375. Donc on a bien une écriture de type 96 842 égale 375 fois un nombre plus un reste, plus petit que 375. Et vu que l'écriture de la division euclidienne est unique, on sait que c'est bon, c'est la division euclidienne. Et du coup, c'est le reste de la division euclidienne de 96 842 par 375. Et en faisant exactement le même raisonnement, ça veut dire, en réécrivant ça, mais cette fois-ci en utilisant cette écriture pour 842, on trouve que 96 842, c'est égal à 256 fois 378 plus 74. Alors le 378 vient du fait qu'on a 375 ici, et qu'on rajoute 3 fois 256, après factorisation, ça fait 378. Donc 74, c'est le reste de la division euclidienne de 96 842 par 256.

Division euclidienne

RELATED

Recommended videos

Carré parfait

Divisibilité