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Dans cet exercice, on doit résoudre une équation avec des coefficients entiers. On nous demande de montrer que si n, a et b sont des entiers tels que n est un multiple de 4 et que l'équation n = a² + b² est vérifiée, alors a et b doivent être pairs.

Pour prouver cela, on va utiliser une preuve par l'absurde. On suppose d'abord que a et b sont impairs. On peut alors écrire a comme 2k + 1 et b comme 2k' + 1, où k et k' sont des entiers. On développe ensuite l'équation a² + b² et on factorise par 4. On remarque que cela nous donne 4 fois un nombre entier plus 2. Cependant, cela implique que a² + b² est congru à 2 modulo 4, ce qui contredit le fait que n est un multiple de 4. Donc, l'hypothèse selon laquelle a et b sont impairs est fausse.

Ensuite, on suppose qu'un des deux nombres a ou b est impair. Nous pouvons supposer sans perte de généralité que c'est a qui est impair et que b est pair. En utilisant le même raisonnement, on arrive à la conclusion que a et b doivent tous les deux être pairs pour que n soit un multiple de 4.

En utilisant cette conclusion, on peut également montrer que l'équation 2^(2n) = a² + b² n'a pas de solution. En supposant qu'il existe une solution et en notant n0 le plus petit entier tel que 2^(2n0) = a² + b², on montre de manière contradictoire que cette équation n'a pas de solution en utilisant la minimalité de n0.

Enfin, on nous demande de démontrer que l'équation 2^(2n) + 1 = a² + b² a une unique solution. On montre d'abord qu'une solution est donnée par a = b = 2^n en décomposant 2^(2n) + 1 en 2 (2^n)^2. Ensuite, on utilise une preuve par récurrence pour montrer que c'est la seule solution. On suppose que cela est vrai pour un certain rang n et on montre que cela est aussi vrai pour n+1, en utilisant le fait que 2^(2n+3) est un multiple de 4 et en appliquant notre hypothèse de récurrence.

Ainsi, on peut conclure que l'équation 2^(2n) + 1 = a² + b² admet une unique solution donnée par a = b = 2^n.

Salut ! Dans cet exercice, le but va être de résoudre cette équation avec des coefficients entiers. Alors la première question, on nous dit montrer que si n, a et b sont des entiers tels qu'on a cette égalité là, et que n est un multiple de 4, alors nécessairement a et b sont pairs. Bon, ce qu'on va faire, c'est on va le faire un peu par l'absurde, on va montrer que si toutes les conditions sont réunies et que a et b ne sont pas tous les deux pairs, donc ça veut dire soit ils sont tous les deux impaires, soit il y en a un des deux qui est impaire, et bien du coup il y a une contradiction quelque part. Alors, on suppose, dans le premier cas de figure, que l'on a bien l'égalité, qu'on a bien que 4 divise n, et que a et b sont impaires. Alors vu qu'ils sont impaires, il existe deux entiers k et k', tels qu'on peut écrire que a, c'est 2k plus 1, et b c'est 2k' plus 1. Du coup, on a alors que a² plus b², bon ben là on a juste à réécrire, c'est 4k² plus 4k plus 1, identité remarquable, plus 4k'² plus 4k' plus 1, et là on peut factoriser par 4, et donc ça nous donne 4 facteurs de tout ce morceau là, plus 2. Mais ça du coup, ça veut dire que a² plus b² est congru à 2 modulo 4, mais du coup c'est pas 0, donc ça veut dire que n n'est pas un multiple de 4, parce qu'on est censé avoir que 4 divise n, donc ça veut dire que a² plus b² est congru à 0 modulo 4. Là, on n'avait pas du tout cette situation là, donc c'est pas possible, la situation où ils sont tous les deux impaires, c'est pas possible. Maintenant, on va supposer qu'il y en a un des deux qui est impaire, donc on peut, sans perdre de généralité, on peut supposer que c'est a qui est impaire, étant donné qu'ils sont symétriques, ça change rien. Donc on suppose que a est impaire, et que b est paire. Donc, même principe, il existe k et k' tels que a est impaire, b est paire. On fait le même raisonnement, on développe tout ça, on factorise par 4, et on se retrouve avec ça. Cette fois-ci on est congru à 1 modulo 4. Donc, n n'est pas non plus un multiple de 4, mais ça c'est faux, parce qu'on avait supposé que 4 divisait n. Donc, nécessairement, a et b sont paires lorsqu'on a que n est égal à a² plus b², et que 4 divise n. Voilà, c'est la seule situation possible, c'est que les deux soient paires. Alors ensuite, on nous demandait d'en déduire que l'équation 2 puissance 2n est égale à a² plus b² n'admet pas de solution. On va voir ce qui se passe. Donc, on va supposer qu'il existe une solution de cette équation, et on note n0, le plus petit entier, tel que 2 puissance 2 n0 est égale à a² plus b² a une solution. Parce que ça, ça a une solution quand n est fixé. Mais si on change n, il peut y avoir encore de nouvelles solutions, du coup parce qu'on crée une nouvelle équation. Et on note n0, le plus petit entier, du coup n, tel qu'il y a une solution. On suppose qu'il existe une solution, donc n0, on sait qu'il existe, parce qu'il y a au moins une solution à cette équation. Étant donné que a et b sont tous les deux plus grands que 1, nécessairement n0 aussi est plus grand que 1, parce que 2 puissance 0, ça fait 1. Ces deux-là ne peuvent pas faire 1 en s'additionnant, parce qu'ils sont tous les deux plus grands que 1. Donc nécessairement n0 est plus grand que 1. On va voir que ça a son importance pour la suite. De plus, 2 puissance 2 n0, ça c'est 4 puissance n0. Donc c'est divisible par 4. Du coup, d'après la question 1, on a que a et b sont pairs. Parce que la question 1, on rappelle, on avait que N est égal à a2 plus b2, et 4 divise N. Ici, notre N, c'est celui-là. Il est divisible par 4, et on a bien que 2 puissance 2 n0 est égal à a2 plus b2. Donc ça, la question 1 nous dit que nécessairement a et b sont pairs. Si a et b sont pairs, on réécrit encore à l'aide de k et k', que a est égal à 2k, b est égal à 2k'. On écrit ce qui se passe quand on met au carré. On peut du coup factoriser par 4. Et vu qu'on peut factoriser par 4, on va simplifier par 4 de chaque côté. On simplifie par 4. Donc là, 2 n0 en puissance devient du coup 2 n0 moins 2, parce qu'on a simplifié par 2 puissance 2. Donc, ça devient 2 puissance n0 moins 2, donc 2 fois, entre parenthèses, n0 moins 1. Et ça, c'est égal à k au carré plus k' au carré. Mais ça, du coup, c'est la même équation, juste écrite différemment. Parce que ça, c'est un N, d'accord ? C'est notre nouveau N, on va dire. Et ça, c'est a et b, un nouveau a, un nouveau b. Donc c'est la même équation, juste on a remplacé les noms des inconnus. Mais du coup, ça contredit la minimalité de n0, parce que ça marche pour cet entier-là. Sauf que n0 était censé être le plus petit, mais n0 moins 1 est plus petit que n0. Donc ça contredit la minimalité de n0. Donc ça veut dire qu'on ne pourra pas trouver une solution à 2 puissance n égale a carré plus b carré. Il n'y a pas de solution. Ensuite, on nous dit de démontrer que l'équation 2 puissance 2n plus 1, cette fois-ci, est égale à a carré plus b carré, admet une unique solution qu'on précisera. Une unique solution, quand on vous demande ça, généralement, ce qu'il faut faire, c'est trouver une solution et montrer qu'elle est unique. C'est ce qu'il y a de plus facile à faire, généralement. Ce n'est pas toujours vrai, mais dans la plupart des cas, c'est ce qu'on ferait. Là, on va décomposer 2 puissance n plus 1. 2 puissance 2n plus 1, c'est 2 fois 2 puissance 2n. 2 fois 2 puissance 2n, c'est 2 puissance 2n plus 2 puissance 2n. Mais du coup, avec les règles de calcul des puissances, vu qu'on a un produit ici, c'est une puissance de puissance. C'est 2 puissance n au carré plus 2 puissance n au carré. C'est exactement l'écriture qu'on cherche. Si on veut un truc au carré, ici, ce sera notre A et ici, notre B. Donc finalement, A égale B égale 2 puissance n. C'est une solution de l'équation 2 puissance 2n plus 1 est égale à A carré plus B carré. Maintenant, intuition pour montrer l'unicité. On a trouvé une solution, on veut montrer qu'elle est unique. On va faire une récurrence. Parce qu'il y a intervention du n, on pense à récurrence. À tort ou à raison, on va voir. Mais il faut penser à récurrence quand on a un truc à montrer avec du n. On va montrer par récurrence sur n que l'équation 2 puissance 2n plus 1 égale A carré plus B carré admet pour unique solution A égale B égale 2 puissance n. Pour n égale 0, c'est assez facile. 2 puissance 1, c'est 2 puissance 0 plus 2 puissance 0, c'est égal à 2. Maintenant, on fait le passage de n à n plus 1. On suppose que c'est vrai au rang n. On va montrer que c'est vrai au rang n plus 1. Le rang n plus 1, ici, quand on remplace n par n plus 1, on a 2 puissance n plus 3. 2 puissance n plus 3, c'est multiple de 4. D'après la question 1, si A et B sont solutions de 2 puissance n plus 3 égale A carré plus B carré, nécessairement, ils sont pairs. C'est multiple de 4 parce que, tout simplement, c'est comme si, ici, on avait ces 2 puissance n plus 1 fois 2 puissance 2, donc, tout simplement, fois 4. Ensuite, nécessairement, ils sont pairs, on a dit. Donc, il existe K et K prime tels que A va s'écrire comme ça et B va s'écrire comme ça parce qu'ils sont pairs. Du coup, si on remplace, comme depuis tout à l'heure, la même chose, ça nous fait 4K carré plus 4K prime carré. On factorise par 4, on simplifie par 4. Donc, là, comme tout à l'heure, c'est comme si on faisait moins 2 en puissance parce qu'on va diviser par 4. Donc, on va se retrouver avec 2 puissance 2n plus 1. Et donc, cette équation, par hypothèse de récurrence, cette équation a une unique solution K, K prime qui vaut 2 puissance n. Donc, par unicité de K et de K prime, on retrouve l'unicité de A et de A prime qui valent chacun, respectivement, 2 puissance n plus 1. Et donc, finalement, l'unique solution de 2 puissance n plus 1 égale A carré plus B carré, c'est A égale B égale 2 puissance n.

Equation type Fermat

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