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Divisbilté par 7
Dans cet exercice, il s'agit de démontrer que pour tout nombre naturel n, l'expression 3 puissance 2n plus 1 plus 2 puissance 4n plus 2 est divisible par 7.
Pour cela, on utilise une méthode de récurrence. On commence par le cas initial, n=0. En substituant n par 0 dans l'expression, on obtient 3 puissance 1 plus 2 puissance 2, qui est égal à 7. Donc, dans ce cas, 7 divise bien l'expression.
Ensuite, on passe au cas de n à n+1. On veut montrer que l'expression 3 puissance 2n plus 3 plus 2 puissance 4n plus 6 est congruente à 0 modulo 7. Pour cela, on utilise les congruences. On factorise l'expression en extrayant 3 puissance 2 et 2 puissance 4 (car un 2 et un 4 sont sortis lors du passage de n à n+1). En utilisant les propriétés des congruences modulo 7, on peut simplifier l'expression et la réécrire comme 2 * (3 puissance 2n plus 1 plus 2 puissance 4n plus 2).
Or, on reconnaît que cette expression est congruente à 0 modulo 7, grâce à l'hypothèse de récurrence. En effet, on sait que pour tout n antinaturel, l'expression 3 puissance 2n plus 1 plus 2 puissance 4n plus 2 est divisible par 7. Donc, si cette expression est congruente à 0 modulo 7, l'expression 3 puissance 2n plus 3 plus 2 puissance 4n plus 6 l'est également.
Finalement, on a bien démontré que pour tout n, l'expression 3 puissance 2n plus 1 plus 2 puissance 4n plus 2 est divisible par 7.
