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Loi usuelles, groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde plusieurs concepts liés aux structures algébriques, en se concentrant sur la démonstration que l'ensemble R étoile croyeur, muni de la loi étoile, forme un groupe et sur la question de sa commutativité. Il aborde également la simplification de l'expression xy puissance n dans R étoile croyeur pour x, y appartenant à cet ensemble et n appartenant à n étoile.

Il commence par rappeler la définition d'un groupe comme étant un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre et où chaque élément a un symétrique. Il précise également que la loi doit être interne.

Ensuite, il démontre que la loi étoile est interne en montrant que le résultat des opérations xy et x'y' appartient toujours à R étoile. Il prouve également l'associativité de la loi étoile en montrant que peu importe l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées, le résultat reste le même.

Il cherche ensuite l'élément neutre de la loi étoile en posant un système d'équations et déduis que l'élément neutre est (1,0). Il détermine également l'inverse d'un couple (x,y) en résolvant un autre système d'équations et conclut que tout élément (x,y) a un inverse qui est (1/x,-y/x).

Il aborde ensuite la question de la commutativité de la loi étoile et montre qu'elle n'est pas vérifiée en exhibant un contre-exemple.

Enfin, il passe à la deuxième question et explique que la puissance n du couple (x,y) signifie effectuer la loi étoile sur ce couple n fois. Il montre que pour n=2 et n=3, le résultat peut être exprimé sous une forme spécifique, et propose de prouver par récurrence que pour tout n dans n étoile, le résultat de xy puissance n est de cette forme spécifique.

Il conclut en encourageant les spectateurs à mener cette démonstration par récurrence eux-mêmes.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice assez proche du cours qu'il va être important de maîtriser si vous voulez prendre en main votre chapitre sur les structures algébriques. Commençons tout de suite par la lecture dénoncée. On définit pour les couples xy et x'y' dans R étoile croyeur la loi étoile qui, à ces deux couples-là, associe xx' et xy' plus y. On va vouloir dans un premier temps démontrer que R étoile croyeur muni de la loi étoile est un groupe, et on va se poser dans un second temps la question de savoir s'il est commutatif. Enfin, on va vouloir simplifier l'expression xy puissance n pour x et y dans notre ensemble R étoile croyeur et pour n dans n étoile. Commençons tout de suite par la question. Ce que je vous propose de faire, c'est de faire un rappel sur ce qu'est un groupe. On sait qu'un groupe est un ensemble G muni d'une loi interne étoile telle que étoile est associative, c'est-à-dire que pour toutes x, y, z dans G, x étoile entre parenthèses y étoile z est égale à entre parenthèses x étoile y étoile z. Dans un second temps qu'il existe un élément neutre e, c'est-à-dire que pour toutes x dans G, il existe un e tel que x étoile e est égal à e étoile x est égal à x. Et je précise que cet élément neutre e est unique dans tout le groupe, c'est-à-dire que peu importe le x qu'on prenne dans G, ce sera toujours le même e. Et dans un troisième temps, que tout élément possède un symétrique, c'est-à-dire que pour toutes x dans G, il existe un y dans G tel que x étoile y est égal à y étoile x est égal à e, notre élément neutre. Et je précise ici en revanche que le y dépend de x, c'est-à-dire que pour un 2x différent, on aura deux y différents. J'insiste enfin sur le fait que la loi doit être interne, et ça va être important à démontrer et pas toujours trivial à montrer. Commençons donc notre question 1. Je m'emballe. Montrons donc que étoile est interne. Eh bien, soit xy et x prime y prime dans R étoile croix R. Et qu'est-ce qu'on remarque ? On remarque que x fois x prime appartient bien à R étoile toujours, et que x fois y prime plus y appartient toujours à R. Conclusion ? Eh bien, le couple xy étoile x prime y prime appartient bien à R étoile croix R, par opération élémentaire dans R. Passons donc à la deuxième caractérisation, qui est de montrer que ma loi étoile est associative. Eh bien, encore une fois, c'est un peu le même process à chaque fois, mais les calculs changent. Soit xy et x prime y prime, et cette fois-ci x seconde et y seconde, tous les trois dans R étoile croix R. Alors d'une part, ce qu'on va faire, c'est qu'on va mener les calculs lorsque on fait cette partie-là en premier. On remarque en menant les calculs que ça vaut ce couple. Et d'autre part, lorsque cette fois-ci on fait ces calculs en priorité, puis on applique la loi étoile de ce côté-là, on remarque qu'en menant les calculs, que ces deux couples sont égaux. C'est-à-dire, peu importe que l'on commence par cette partie-là ou par cette partie-là, on obtient la même chose à la fin. Conclusion ? Étoile est bien associative. Troisièmement, cherchant l'élément neutre. E1 et E2, vérifiant la caractérisation de l'élément neutre, c'est-à-dire que pour toute x et y, on a x et y étoile E1, E2 qui est égale à x, y. Menons nos calculs. On développe. En développant, on obtient bien par calcul, par définition d'étoile, qu'on doit avoir x fois E1 virgule x fois E2 plus y qui est égal à x, y. En posant notre système que x fois E1 est égal à x d'une part et que x fois E2 plus y est égal à y d'autre part, je simplifie. Je sais que x est dans R étoile, donc j'ai le droit de diviser les deux côtés par x, ici. Donc j'obtiens que E1 est égal à 1. Et d'autre part, je résous mon système. J'ai x fois E2 qui est égal à 0, avec x différentes 0 encore une fois, puisque x est dans R étoile. Donc j'obtiens finalement que E1 est égal à 1 et que E2 est égal à 0. Grosso modo, j'ai essayé d'expliquer les calculs, mais les calculs, c'est toujours un peu brouillon à expliquer. En fait, on résout notre système linéaire avec ce système linéaire qui a pour inconnu E1 et E2, avec x et y fixés. C'est aussi simple que ça, en fait. On en déduit donc finalement que la loi possède un élément neutre qui est 1,0. Cherchons en présent l'inverse d'un couple x, y. Donc soit AB dans R étoile croix R, vérifiant x, y étoile AB est égal à 1,0, l'élément neutre. Encore une fois, je développe les calculs. Par définition d'étoiles, ça vaut ça. Et puis encore une fois, je pose mon système linéaire. Donc j'ai x fois A qui est égal à 1 et x fois B plus Y qui est égal à 0. Je résous mon système linéaire, avec cette fois-ci pour inconnu A et B et pour paramètre entre guillemets x et y. J'ai le droit de diviser par x puisque x appartient à R étoile. Donc j'obtiens que A est égal à 1 sur x. Et je résous pour B. Et j'en déduis donc que tout élément x, y possède un inverse qui est 1 sur x et moins y sur x. Qui est en fait le couple 1 sur x, moins y sur x. Je me suis mal exprimé, pardon. Posons-nous la question à présent de savoir si cette loi est commutative. Autrement dit, si notre couple est abélien. Petit rappel, une loi commutative en fait, c'est une loi qui vérifie x étoile y est égal à y étoile x. Et ici on remarque quoi ? On remarque que pour le couple particulier qui est ici 2 0, si on lui applique étoile, donc si on fait 2 0 étoile 0 2, on remarque que ça fait 0 4. Mais que le couple 0 2 étoile 2 0 est égal à 0 2. Au couple 0 2. On en conclut donc que g étoile n'est pas commutative puisqu'on vient d'exhiber 2 x et y. Ici x est égal à 2 et y est égal à 0. Tel que lorsqu'on inverse les deux, on n'obtient pas la même chose. Donc elle n'est pas commutative. Passons à présent à la question 2. Qui, je vous le rappelle, nous demande de calculer le couple x, y à la puissance n. Attention ici, la puissance n, il faut que ce soit clair dans votre esprit que la puissance n veut dire qu'en fait on fait x, y étoile, x, y étoile, et ça on le fait n fois. Ce n'est pas une puissance n comme on l'entend depuis la 5e, c'est-à-dire, je n'en sais rien moi, je ne sais pas ce qui pourrait vous passer par la tête, mais en tout cas ce n'est sûrement pas ça. Impossible, pas du tout. Donc ce qu'on va vouloir faire, c'est itérer n fois et voir ce que ça donne. Et moi ce que je fais dans ce cas-là, c'est que je teste toujours pour des n petits. Et je remarque quoi ? Je remarque que x, y à la puissance 2, qui vaut x, donc le couple x, y étoile, x, y, et bien ça c'est égal à x au carré, au couple x au carré, x, y plus y. J'itère une deuxième fois, et je remarque que x, y à la puissance 3, c'est égal au couple x, y étoile, x, y à la puissance 2, ça je l'ai calculé ici, je calcule et je trouve que c'est égal au couple x puissance 3, x puissance 2y plus x, y plus y. Et là je commence à voir apparaître une formule de récurrence. Et puis ce qu'il nous reste à faire, mais ça vous savez le faire maintenant parce que vous êtes des grands, vous êtes en prépa, c'est montrer par récurrence sur n appartenant à n étoile le couple x, y à la puissance n vaut ceci. On l'a montré pour n petit, il nous reste à le montrer formellement et de manière rigoureuse par récurrence. Et ça, je compte sur vous.

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