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Salut à tous ! Dans cette vidéo, nous allons étudier une loi, notée "étoile", qui s'applique sur un ensemble R privé de 1. Cette loi est définie par x étoile y = x + y - x * y. Nous nous posons plusieurs questions sur cette loi. Tout d'abord, nous voulons déterminer si elle est associative et commutative. 
Pour l'associativité, nous calculons (x étoile y) étoile z et nous obtenons une expression. Ensuite, nous calculons x étoile (y étoile z) et obtenons une autre expression. En comparant les deux, nous constatons qu'elles sont égales. Nous concluons donc que la loi est associative. 
Ensuite, nous prouvons que la loi est commutative en montrant que x étoile y est égal à y étoile x, en utilisant les propriétés de commutativité de l'addition et de la multiplication dans l'ensemble R. 
Nous passons ensuite à la question suivante qui concerne l'existence d'un élément neutre pour cette loi. Nous cherchons E tel que x étoile E soit égal à x. En simplifiant l'expression, nous trouvons que E doit être égal à 0. Donc, la loi admet 0 comme élément neutre. 
Enfin, nous étudions si chaque réel x a un inverse pour cette loi. En posant x étoile A = 0, nous isolons A et trouvons que A = x / (x - 1), en assumant que x est différent de 1. 
Pour conclure, nous donnons une formule explicite pour la puissance n-ième de x (notée x puissance n). En calculant les premières puissances de x, nous remarquons une régularité et trouvons la formule de récurrence suivante : x puissance n = (1 - 1/x) puissance n. Notons que la puissance n-ième ici représente la répétition de l'opération étoile n fois. 
Voilà un résumé SEO friendly de cette vidéo sur la loi étoile dans l'ensemble R privé de 1.

Salut à tous, c'est Quentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui pour un exercice vraiment proche de notre cours d'algebra général puisqu'il va vraiment nous poser des questions basiques, commutativité, associativité, inversibilité, sur un ensemble, qui est ici R privé de 1, mais d'une loi, qui est ici étoile, et qui a x et y dans R privé de 1, associé x plus y moins x fois y. Alors commençons tout de suite par la première question qui nous demande si cette loi est associative et ou commutative. Commençons tout de suite. Pour l'associativité, c'est toujours la même chose. Soit x, y, z dans R privé de 1. On calcule x étoile y entre parenthèses étoile z. On mène nos calculs à leur terme. On remarque que c'est égal à cette chose-là. Et d'autre part, on calcule x étoile y étoile z. On mène nos calculs à leur terme. On remarque que c'est égal à cette chose-là. C'est la même chose. Les deux choses sont égales. On en conclut donc que étoile est associative. Montrons dans un second temps que cette loi est aussi commutative. Pourquoi ? On remarque que x étoile y est égal à x plus y moins x fois y, par définition de étoile, mais par commutativité de plus et de fois dans R. En effet, dans R, on a le droit de dire que a plus b est égal à b plus a, et que a fois b est égal à b fois a. R est commutatif. On a le droit de permuter, comme je viens de vous le dire. On permute pour l'addition et pour la multiplication. Ça, c'est exactement y étoile x. Conclusion, étoile est aussi commutative. Passons à présent à la question 2, qui nous demande si étoile admet un élément neutre. Soit donc E vérifiant x étoile E est égal à x, par définition de l'élément neutre. Je remplace. Ça revient à me demander si trouver un E qui vérifierait x plus E moins x fois E est égal à x. Je simplifie. Je trouve que c'est égal à E fois 1 moins x, et que ça c'est égal à 0. Or, puisqu'on est dans R privé de 1, puisque x appartient à R privé de 1, ça c'est différent de 0. On en conclut donc que la seule possibilité c'est que l'élément neutre soit égal à 0. Donc étoile admet 0 pour l'élément neutre. Passons à présent à la question 3, qui nous demande si un réel x admet un inverse pour cette loi. Encore une fois, c'est toujours un peu la même chose. Vous allez voir dans les exercices précédents, mais aussi dans les exercices suivants, c'est un peu toujours le même formalisme au début. Après, les calculs diffèrent, bien entendu. Au début, on pose toujours un A qui vérifie x étoile A est égal au neutre. Ici, 0. On remplace, x plus A moins x fois A est égal à 0. Je simplifie, j'isole A. Ici, A est notre inconnu, x est notre paramètre. Et je trouve que A est égal à x divisé par x moins 1. Et ça, j'ai le droit de le faire puisque x est différent de 1. Passons à présent à notre dernière question, notre dernière petite question, qui nous demande de calculer, de nous donner une formule explicite pour la puissance n-ième. Et attention, j'attire votre attention, encore une fois, sur le fait que la puissance n-ième, donc x puissance n, ce n'est pas x puissance n comme on l'entend depuis le collège. C'est x étoile x étoile x, et ce, n fois. J'insiste là-dessus, mais on le voit directement ici. Moi, ce que je fais, quand on me demande une formule explicite pour quelque chose, soit une dérivée n-ième, soit une puissance n-ième, je calcule pour des petites valeurs de n, déjà, pour me faire une idée. Ici, je calcule x puissance 2. Et là, encore une fois, j'insiste, ce n'est pas x au carré, c'est x étoile x. Je calcule, je trouve que ça fait 1-1-x au carré. x puissance 3, encore une fois, je calcule, c'est égal à 1-1-x au carré fois 1-x. Ça, c'est égal à 1-1-x au cube. Bingo, j'ai trouvé ma formule de récurrence, enfin, ma formule explicite pour la puissance n-ième. Et ça, je vous invite à le montrer par récurrence, vous savez le faire maintenant que vous êtes en prépa. On trouve que x puissance n est égal à 1-1-x puissance n. Avec ici, attention, puissance n-ième comme on l'entend dans R, c'est-à-dire vraiment une puissance n-ième. Ici, on est dans R, et ici, on est dans notre R muni de notre étoile. Dans notre groupe, on est dans notre R étoile. Et ici, on le verra plus tard, on est dans R muni de plus et de fois, donc le R qu'on connaît depuis le début. J'insiste, ici, c'est 1-x fois 1-x, et ce n fois. Et ici, c'est x étoile x n fois. Pas la même chose, OK ? Faites gaffe. Merci à tous.

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