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Anneaux corps

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des matrices et des anneaux. Il commence par rappeler ce qu'est un anneau, qui est un ensemble muni de deux lois de composition interne (l'addition et la multiplication) satisfaisant certaines propriétés. Il explique ensuite ce qu'est un sous-anneau, qui est un sous-ensemble d'un anneau plus grand ayant les mêmes lois de composition interne.

Corentin montre alors que l'ensemble A, qui est l'ensemble des matrices dont les coefficients sont des entiers naturels, est un sous-anneau de l'ensemble M2(R) des matrices 2x2 à coefficients réels. Il prouve cela en montrant que l'addition et la multiplication de matrices dans A restent dans A. Il termine en vérifiant que la matrice identité appartient également à A.

Ensuite, Corentin aborde la question des éléments inversibles de A. Une matrice M est dite inversible si elle possède une matrice inverse M' telle que le produit de M par M' soit égal à la matrice identité. Il montre que les matrices inversibles de A sont celles pour lesquelles la matrice M est égale à 1 ou à -1. Il explique cela en utilisant l'identification des coefficients des matrices et en effectuant des calculs matriciels.

En conclusion, Corentin démontre que l'ensemble A est un sous-anneau de l'ensemble M2(R) et détermine les éléments inversibles de A.

Salut à tous c'est Corentin, bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice que j'aime pas mal puisqu'il mélange calculs matriciels et algéraux. Alors commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. Soit A l'ensemble des matrices s'écrivant comme ceci, avec A et B des entiers naturels. On veut démontrer que A est un anneau pour les lois d'addition et de produit de matrices, puis on veut déterminer les éléments inversibles de A. Alors ce que je vous propose de faire c'est de commencer par un rappel sur ce qu'est un anneau. Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne plus et fois, alors A est un anneau si A muni de plus est un groupe commutatif, fois est associative et fois est distributif par rapport à l'addition. Ensuite un petit rappel sur ce qu'est un sous-anneau cette fois-ci. Soit G une partie de A, alors G muni de plus et de fois est un sous-anneau de A muni de plus et de fois avec les mêmes lois en fait ici. Si G est stable par plus et par fois et par passage à l'opposé et le neutre dans A pour la multiplication appartient à G. Et propriété fondamentale c'est qu'un sous-anneau est un anneau. Conclusion et bien au lieu de montrer qu'un ensemble est un anneau, ce qui est assez fastidieux, ce que je vous propose de faire c'est de montrer qu'un ensemble est un sous-anneau d'un ensemble plus grand, c'est un anneau, c'est plus rapide et ça fait aussi bien les choses. Alors c'est ce que je fais ici, mon tronc A est un sous-anneau de M2 de R muni de plus et de fois, donc avec plus l'addition entre matrices et fois le produit matriciel et M2 de R je vous le rappelle l'ensemble des matrices de 2 à coefficients de R. Soit M et M' dans A, qu'est ce que je fais, je fais mes calculs. Donc l'addition entre matrices M plus M', je remarque que ces coefficients là appartiennent toujours aux antinaturels. Conclusion cette matrice la résultante elle appartient toujours à A. De même pour M fois M', attention on se rappelle bien de la formule, ça trivialement c'est toujours d'antinaturel donc ça appartient toujours à A. Il nous reste à vérifier que la matrice identité donc 1 1 0 0 ça appartient à A clairement en posant A égale 1 et B égal à 0. Conclusion et bien A c'est bien un anneau en tant que sous-anneau de M2 de R muni de plus et de fois. Passons à présent la question 2 qui nous demande de déterminer les éléments inversibles de A. Très bien, soit M une matrice dans A inversible et soit M' son inverse donc c'est à dire une matrice qui vérifie M fois M' est égale à la matrice identité. Je mets mes calculs pro du matriciel, je remarque que du coup on a cette égalité de matrice. Mais alors un peu de la même manière que pour les poénomes par identification, pour les poénomes c'est ce qui est devant les x puissance k qui est égal à ce qui est devant les x puissance k, pour une matrice c'est ce qui est dans cette cellule qui est égal à ce qui est dans cette cellule, ce qui est dans cette cellule qui est égal à ce qui est dans cette cellule et ainsi de suite. On trouve que A fois A' est égal à 1, du coup A est égal à 1 ou A est égal à moins 1. Là je fais une disjonction de k, le k A est égal à 1 et bien on a forcément du coup A' qui est égal à 1 et en utilisant cette égalité là B' qui est égal à moins B. Le k A est égal à moins 1, un peu de la même, suivant le même raisonnement on retrouve alors que A' est égal à moins 1 et B' est égal à moins B. Conclusion, les éléments inversibles de A sont ceux pour lesquels A est égal à 1 ou A est égal à moins 1 puisque, peu importe le k que je choisisse, j'arrive à une solution.

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