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Anneaux corps

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet de l'arithmétique et de la structure algébrique. Il commence par définir l'ensemble A, qui est l'ensemble des rationnels ayant un dénominateur impair. L'objectif est de démontrer que A, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, forme un anneau.

Pour montrer cela, Corentin montre que A est un sous-anneau de l'ensemble des rationnels (Q). Il le fait en montrant que pour tout X et Y appartenant à A, la différence (X - Y) et le produit (X * Y) appartiennent également à A. Pour cela, il utilise le fait que le dénominateur des fractions obtenues reste impair.

Corentin montre également que l'élément neutre (1) appartient à A, car il est égal à 1/1, où le dénominateur est impair.

Ensuite, Corentin cherche à déterminer les éléments inversibles de A. Soit X appartenant à A, il cherche un élément Y qui serait son inverse. Il montre que Y serait égal à 1/X. Cependant, la difficulté réside dans le fait de déterminer si cet inverse Y appartient toujours à A, qui n'est pas un ensemble aussi simple que les ensembles R et Q. En menant des calculs, Corentin trouve que pour que Y appartienne à A, il faut que X soit un nombre impair.

En résumé, les éléments inversibles de A sont de la forme M/N, où M est un nombre impair, N est un nombre entier non nul, et les deux M et N sont impairs.

Hello tout le monde, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice assez classique, puisqu'il mélange arithmétique et structure algébrique. Vous l'aurez forcément en colle un jour ou l'autre. Alors commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. Soit A l'ensemble des rationnels à dénominateur impair, et on veut démontrer que A mis de plus et de fois, comme on l'entend en R, est un anneau. Puis on veut déterminer quels sont ces éléments inversibles. Moi ce que j'ai envie de faire pour aller vite, c'est de montrer que A, c'est un sous-anneau de Q. Très bien, soit X et Y appartenant à A, X moins Y, en passant au même dénominateur et en menant à bien mes calculs, je trouve que c'est égal à cette fraction-là. Mais le dénominateur est impair en tant que produit de deux nombres impairs, et le numérateur appartient toujours bien à l'ensemble des antirelatifs. De même, pour X fois Y, je remarque que c'est égal à cette fraction-là, et pour les mêmes raisons ici, le dénominateur est impair. Conclusion, c'est bien stable par somme et passage à l'opposé, et par produit. De même, 1 appartient à A, puisque 1, c'est égal à 1 sur 1, et que ça c'est impair. Et que le 1, bien sûr, appartient à l'ensemble des antirelatifs. Conclusion, A est donc bien un sous-anneau de Q mis de plus et de fois, c'est donc bien un anneau, en tant que sous-anneau. Cherchons en présent l'ensemble des inverses de A. Soit X appartenant à A, inversible, et Y son inverse. Formellement, j'ai déjà fait des calculs dans R, où on remarque qu'on sait qu'il va avoir cette tête-là. Y va être 1 sur X, puisque X fois 1 sur X, c'est égal à 1. Mais la question, la difficulté, va être de savoir si cet Y appartient toujours à A, puisque A n'est pas un ensemble aussi simple que R ou que Q, c'est l'ensemble des fractions dont le dénominateur est impair. Très bien, on va essayer de mener à bien nos calculs. On sait que M fois M prime sur N fois N prime, c'est égal à 1. Je passe cette quantité-là de ce côté et je trouve que M fois M prime est égal à N fois N prime. Ça, c'est impair. Donc, en particulier, M est nécessairement impair. Très bien, j'ai trouvé ma condition. Réciproquement, est-ce que si X est égal à M sur N avec M impair, j'ai bien Y qui appartient à A ? Oui, c'est aussi simple que ça, puisque Y est égal à 1 sur X, qui est égal à N sur M. Conclusion, tout marche. Les inversibles de A sont donc bien les éléments M sur N, avec M appartenant à Z, N appartenant à N étoiles, et M et N impair.

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