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Anneaux corps

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des morphismes d'anneaux et explique comment démontrer que si X appartient à K privé de 0, alors F(X) est inversible, et comment déterminer son inverse. Il souhaite également montrer que tout morphisme de corps est toujours injectif.

Un morphisme d'anneaux est défini comme une application qui vérifie certaines propriétés, telles que F(X+Y) = F(X) + F(Y) et F(X*Y) = F(X) * F(Y).

Ensuite, en se basant sur le fait que K est un corps, Corentin montre que X est inversible car il existe X-1 tel que X*X-1 = 1 sur K. En composant les deux côtés par F, il sépare X et -1 en utilisant les propriétés du morphisme d'anneaux, et conclut que F(X) est inversible avec pour inverse F(X-1).

Dans la deuxième partie, Corentin rappelle une propriété importante : pour qu'un morphisme de corps soit injectif, son noyau doit être réduit à 0. Il suppose donc que F(X) = 0 et montre que cela signifie que X est égal à 0K, ce qui prouve que F est injectif.

En résumé, Corentin explique comment démontrer que F(X) est inversible et comment trouver son inverse lorsqu'on a un morphisme d'anneaux allant de K dans L. Il montre également que tout morphisme de corps est injectif en utilisant une propriété sur le noyau.

Salut à tous, c'est Corentin ! Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice assez intéressant à maîtriser si vous voulez commencer à appréhender les morphismes d'anneaux. Alors commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. Soit K et L deux corps et soit F allant de K dans L un morphisme d'anneaux. On veut démontrer que si X appartient à K privé de 0, alors F de X est inversible, puis on veut déterminer son inverse. Dans un second temps, on voudra en déduire qu'un morphisme de corps est toujours injectif. Alors commençons tout de suite par un rappel qui est la définition d'un morphisme d'anneaux. Soit A et B deux anneaux. On appelle morphisme d'anneaux toute application qui va de A dans B qui vérifie F de X plus Y est égal à F de X plus F de Y et F de X fois Y est égal à F de X fois F de Y. Très bien, à partir de là, soit X appartenant à K privé de 0. Alors, puisque K est un corps, il existe X moins 1, tel que X fois X moins 1 est égal à 1 sur K. Autrement dit, X est inversible. Je compose les deux côtés par F. Je sépare ici puisque F est un morphisme d'anneaux et je sais que F de 1K est égal à 1L et j'en déduis donc que F de X est inversible d'inverse F de X moins 1. Attention ici à ne pas sortir le moins 1 en dehors puisque c'est précisément ce qu'on est en train de montrer. Ce serait une grosse erreur. Passons à présent à la question 2. Soit F, voilà ce que je vous propose, c'est un rappel, une propriété qui nous dit que pour F, un morphisme de corps, F est injectif si son noyau est réduit à 0. Très bien, soit donc X appartenant à K tel que F de X est égal à 0. Alors, F de X n'est pas inversible puisqu'on sait précisément que les inversibles sur L, c'est L privé de 0L. Mais d'après la question précédente, c'est donc que X n'appartient pas aux inversibles sur K. Mais ça, c'est précisément dire que X est égal à 0K. Puisque X n'appartient pas à K privé de 0K, c'est dire que X appartient à 0K. C'est le complémentaire. Ainsi, on vient de prouver que si F de X est égal à 0L, eh bien X est égal à 0K. C'est précisément l'application directe de cette propriété-là. C'est donc que F est injectif.

Anneaux, éléments nilpotents

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