Home

MPSI/PCSI

Maths

Algèbre

Bases et dimension d'un ev

Ce cours porte sur la discussion de différentes familles de vecteurs pour déterminer si elles peuvent être des bases de l'espace R3 (espace à trois dimensions). 

Le professeur examine plusieurs familles de vecteurs et utilise les concepts de liberté et de génération pour les évaluer. Une base est à la fois libre (aucune combinaison linéaire ne peut donner le vecteur nul, sauf si tous les coefficients sont nuls) et génératrice (tous les vecteurs de l'espace peuvent être obtenus par des combinaisons linéaires des vecteurs de la famille).

Deux des familles sont rapidement éliminées car elles ne contiennent pas le bon nombre d'éléments pour former une base.

Les deux familles restantes sont étudiées plus en détail. Le professeur utilise des tests de liberté (vérification qu'aucune combinaison linéaire ne donne le vecteur nul, sauf si les coefficients sont nuls) pour discuter de différents cas. Il fait des combinaisons linéaires des vecteurs et utilise des méthodes d'élimination gaussienne pour résoudre les systèmes d'équations.

Le professeur conclut que l'une des familles est une base lorsque certaines conditions sont remplies, tandis que l'autre famille ne peut pas être une base car elle ne génère pas tous les vecteurs de l'espace.

En résumé, le cours analyse différentes familles de vecteurs pour déterminer si elles peuvent être des bases de l'espace R3, en utilisant des tests de liberté et des méthodes d'élimination gaussienne pour résoudre les systèmes d'équations. Deux familles sont éliminées en raison du nombre incorrect d'éléments, tandis que les deux familles restantes sont discutées en détail pour déterminer leur statut de base.

Alors quelques questions sur des systèmes et on va regarder en gros si ces différents systèmes, ces différentes familles de vecteurs si vous voulez, peuvent être des bases de R3. R3 à dimension 3, je vous fais des petits rappels, une base on dit donc que c'est une famille qui est à la fois libre et génératrice, c'est aussi une famille libre de taille maximale, taille maximale pour un espace de dimension n c'est n pour une famille libre, c'est aussi une famille génératrice de taille minimale, même chose taille n. Voilà donc S1 a deux éléments, c'est mort, son cardinal c2 c'est beaucoup plus petit que la dimension de R3, enfin c'est plus petit que la dimension de R3 donc c'est pas possible que ce soit une base, tout bêtement. S4 c'est la même chose, il y a quatre éléments, bon peut-être que c'est une famille génératrice, pas de problème c'est encore possible mais ça sera pas une famille génératrice minimale parce qu'il y a quatre éléments et non pas trois, ça sera pas une base donc direct je peux virer S1 et S4 juste par le nombre d'éléments des deux familles. Il me reste deux familles avec trois éléments donc cette condition nécessaire n'est pas brisée pour l'instant, on va essayer de réfléchir. S2 et S3 on me propose en gros de discuter selon différents réels, ça serait trop facile sinon ça serait juste un test de liberté, si j'avais juste un petit nombre ici, je dirais juste j'ai trois éléments, c'est une famille libre, c'est fini. Je vais regarder S2 et S3, il y aura donc des tests peut-être mais ça sera des discussions sur les différents facteurs. S2 c'est donc U1, U2, U3 et il faut des réflexes, alors c'est pas évident mais c'est bien d'avoir des petits réflexes pour jouer un peu avec les polynomes. Quand je dis jouer un peu c'est partie de ce mantra que je vous répète tout le temps, il faut savoir jouer, faire des combinaisons linéaires, etc. Il faut savoir jouer avec les familles, les combinaisons linéaires, les vectes, tout ça. Ça peut vous aider de prendre cette habitude, moi j'essaie de vous montrer comment faire, il faut vous entraîner, ça peut vous aider à sortir de schémas un petit peu trop engoncés, vous allez juste faire des tests et faire des choses trop lentes. Il y a des méthodes qui vont être très très fonctionnelles mais qui vont être beaucoup trop lentes, c'est bien de savoir regarder les vecteurs, de faire de chaque exercice un cas particulier où il faut regarder pour trouver quelle est la petite astuce qui peut vous faire accélérer. Ça c'est vraiment la bonne démarche je pense, parce que dans beaucoup d'exos, 99% honnêtement, c'est ça qui va vous sauver et vous permettre d'aller vite. Moi tout de suite je vois ça et ça, je vois un 2, je vois un 1, j'ai mon esprit qui va sur ça plus ça, ça a l'air de marcher. Quand je me rends compte que U1 plus U3 c'est pas loin de U2, j'ai 2 moins 1 A, je suis content, parce que direct je peux faire une distinction de cas. Si A est à la 2 c'est fini, je suis familier parce que je retrouve U2. U1 plus U3 ça sera U2. Si A est différent de 2, test de liberté. C'est rapide, je prends 3 réels lambda 1, lambda 2, lambda 3. Je pose mon petit système, je trouve très vite, en corrigeant un peu, alors je trouve très vite pour savoir que c'est un système, mais j'ai mes équations 1, 2 et 3. Là je m'amuse un peu, je fais 1 moins 3, j'appelle ça 1 prime. Ici je fais 1 plus 2, je trouve 2 primes et je trouve des choses intéressantes. Ça je peux le gérer, c'est un système de 2, avec 2 équations, 2 inconnues. Je vais laisser tranquille mon équation du dessus et je vais gérer ces deux-là. En gérant, je laisse celle-ci non touchée et je gère celle-ci, où je fais 2 fois celle-ci moins celle-ci. Je me débarrasse de certaines choses et je trouve que 2 moins 1 fois lambda 3 est à la 0. On est dans le cas où A est différent de 2, donc vu qu'A est différent de 2, forcément lambda 3 est à la 0. Magnifique, ça implique que lambda 2 est à la 0, et vu que lambda 3 est à vos 0, lambda 1 est à vos 0 également. Super, j'ai une famille libre. En gros on voit en faisant ça, vous allez me dire oui, tu aurais pu juste lancer le test de liberté depuis le début et trouver la discussion sur A égal 2 ici. C'est vrai, ça aurait été possible, mais j'aime bien moi jouer et regarder un peu les choses, parce que je trouve qu'on domine plus l'exercice et on comprend sans subir autant. Dès le début je vois ce qui va se passer, etc. Il était possible de le résoudre en partant direct sur un test de liberté et en discutant ici sur la valeur de A. C'est vrai. Voilà, en tout cas on trouve qu'elle est libre, c'est très bien dans les cas où A est différent de 2. Deuxième famille, j'ai trois éléments, c'est très bien. Test de liberté entre les trois, je pose mon test de liberté et j'obtiens alors là quelque chose de très important, j'obtiens donc un système qui a l'air échelonné. Honnêtement j'ai lambda 1, A2, lambda 3, lambda 2, lambda 3, lambda 3. Je peux résoudre ça, remonter ici pour résoudre lambda 2, remonter ici pour résoudre pour lambda 1. Ça va être bien, parce qu'il est bien, c'est un système un peu comme si on avait déjà effectué ce qu'on appelle un pivot de Gauss. Donc on est content, on a un truc bien échelonné. Par contre c'est un exemple d'exercice un peu laborieux mais c'est très important de savoir le faire, où il y a une distinction de cas à faire, il faut vraiment être méticuleux et ne pas se planter. On commence par l'équation du bas et on va dire le paramètre E soit il est égal à 0, et là ça va me faire un certain cas, soit il est différent de 0, ce qui va me donner directement lambda 3 égal à 0. Donc on part tout de suite sur le premier cas, E différent de 0. Si E est différent de 0, lambda 3 égal à 0. Si lambda 3 égal à 0, deux choses. J'ai ici B lambda 2 égal à 0, vu que celui-là se dégage. Même chose que la situation précédente, je dois faire une distinction de cas. Dans mon sous cas, je dois faire des sous sous cas sur B. B est-il égal à 0 ou non ? Donc je pars sur B différent de 0, ici j'ai ça, B différent de 0, lambda 2 égal à 0. Ça m'amène à lambda 1 égal à 0 nécessairement, et donc j'ai une famille libre. Donc dans le cas E différent de 0, B différent de 0, j'ai une famille libre. Dans le cas E différent de 0, mais cette fois-ci B égal à 0, qu'est-ce que je trouve ? Je reprends un peu les expressions. Je trouve que U2, c'est A0 0. En fait, c'est A fois U1. C'est fini, c'est lié. Très bien. Si E égal à 0, je peux regarder, j'ai les trois vecteurs ici, 1 0 0, A B 0 et C D 0. Pour dire que ce n'est pas une base, c'est très facile. Je suis d'embarquer que les trois vecteurs ont un 0 ici, et donc par exemple le vecteur 0 0 1 ne sera jamais atteint par toute combinaison linéaire de ces trois-là. Donc cette famille n'est pas génératrice, donc ce n'est pas une base. Le fait que j'en trouve un, c'est comme ça qu'on justifie rapidement, je vois plein de 0, plein de trucs ne sont pas atteints, donc pas de caractère générateur, donc ce n'est pas une base. Voilà, c'était jouable, mais voilà. Vous savez donc 1. Repérer qu'il n'y a pas le bon nombre d'éléments, ça dégage. 2. Jouer un peu, faire un test de liberté, discuter des cas, discuter de cas relativement rapidement. Et puis la 3, un peu plus long, il faut juste être propre, bien poser ses cas, vous faites ça avec des... Vous savez, vous décalez un peu, vous faites une copie propre, faites attention à ça, on encadre, on met des couleurs, puis on conclut sans oublier aucun cas de l'univers. Voilà, j'espère que ça vous a aidé. Posez-moi des questions s'il y a besoin, et je vous retrouve sinon dans une prochaine vidéo. Bye bye !

Base

RELATED

Recommended videos

Coordonnées de polynômes

Dimension