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Bases et dimension d'un ev

Dans cette vidéo, on étudie les espaces de polynômes. L'objectif est de montrer que les polynômes P1, P2 et P3 forment une base de R²x, qui est l'ensemble des polynômes du degré 2 dans R. Pour cela, on utilise la méthode de se référer à une base connue, en l'occurrence vec(1, x, x2). On utilise deux identités remarquables, x+1 et x-1, pour montrer que vec(P1, P2, P3) est égal à vec(1, x, x2). En faisant des combinaisons linéaires, on trouve que vec(P1, P2, P3) est égal à vec(P1 + P3 - 2P2). Pour obtenir un vecteur constant, on enlève exprès -2P2. En fin de compte, on obtient que P3 - P1 est égal à 2x2 + 4x, ce qui est bien un vecteur de 1x2 x1, 1x2. Les coordonnées de ce vecteur dans la base P1, P2, P3 sont donc un quart de P1 + trois quarts de P3.

Dans cette vidéo, on va étudier les espaces de polynômes. C'est assez courant dans les espaces vectoriels de jouer avec les polynômes dans les exercices. On vous dit montrer que P1, P2, P3, ces trois-là, forment une base de R²x, donc l'ensemble des polynômes du degré 2 dans R, et donner les coordonnées de ce vecteur spécifique dans la base. Méthode, je dirais, toujours se référer à une base connue. Voilà. Moi, mon but, c'est de montrer que, enfin, ça va être comme ça que je vais répondre à la question, c'est de démontrer que vec de P1, P2, P3, ça va être vec de 1, x, x2. C'est pas la seule méthode, mais c'est celle que j'ai envie d'employer ici. Pourquoi je fais ça ? Parce que je me rends compte que x plus un carré, x moins un carré, il y a des identités remarquables que je connais qui peuvent m'aider. Lesquelles ? Eh bien, ces deux-là. J'en parle assez souvent, il me semble que même dans des vidéos que j'ai faites de seconde, première, terminale, je reparle de ça. Ces deux identités remarquables, en fait, ce sont juste des mixes des identités remarquables de base de troisième, de seconde. C'est en fait la somme des deux identités remarquables classiques, x plus un carré égal, x moins un carré égal, et la différence. Et c'est facile à retrouver, mais c'est bien de les connaître et de les avoir comme un petit réflexe ou quelque chose que vous pouvez appeler à votre aide, c'est bien d'avoir ces deux-là en tête. Donc ça fait la somme deux fois les termes carrés, la somme des termes carrés, et la différence, on vire tous les carrés, il reste que les termes mixtes, 2ax moins, moins 2ax, 4ax. Pourquoi ? Parce qu'ici, j'ai envie de faire ça tout de suite. Je vais faire des petites combinaisons linéaires directes. Donc je vais me rendre compte que p3 moins p1, ça fait 4x. Alors que p1 plus p3, ça fait deux fois x carré plus 1. En fait, x carré, c'est p2, donc ça fait deux fois p2 plus 2. Et donc quoi ? En fait, mon vecte, je peux jouer avec, j'adore faire ça, et encore une fois, j'insiste et je fais ça souvent pour vous montrer que savoir bien jouer avec les combinaisons linéaires peut vous sauver, vous donner des intuitions de ce qui se passe dans beaucoup d'exercices d'algèbre. Vecte de p1, p2, p3, c'est vecte de p1 plus p3 moins 2p2. Pourquoi je fais ça ? Je fais le malin, parce qu'en fait, j'enlève exprès moins 2p2 pour avoir un vecteur constant ici, un polynôme constant. P2, je laisse tranquille, et p1 moins p3. P3 moins p1 ? Je ne sais pas, on s'en fiche, on y remet. Et donc, j'obtiens quoi ? P3 moins p1. Oui, c'est p3 moins p1, p1 moins p3. Ça ne change pas grand chose, de toute façon, on n'est pas à une constante près. Ça fait donc 2x2 4x. Ça, en fait, c'est bien un vecte de 1x2 x1, 1x2. Ça, c'est grand R de 2x. C'est bon, c'est démontré. Enfin, donner les coordonnées de ça. C'est parti, c'est une application. Le plus important pour moi, c'était le début, là, où j'ai un peu joué avec ça. Il y a d'autres méthodes, n'hésitez pas à me dire. Si vous avez des questions, posez-les dans les commentaires sous la vidéo ou discutez avec moi. On pourra regarder s'il y a des méthodes plus rapides, c'est possible. Moi, je voulais vous faire ça, je trouvais ça astucieux. Les coordonnées, c'est facile. Qu'est-ce qu'il faut faire ? En fait, il faut s'amuser à aller chercher ce qu'on a utilisé précédemment. En fait, moi, je vais jouer sur le fait que je connais déjà comment s'écrit le vecteur x et comment s'écrit le vecteur constant en fonction de p2 et p3. J'ai déjà fait le travail, en fait, c'est l'avantage de la méthode. Parce que x, je sais que c'est p3 moins p1. Constante, je sais que c'est p1 plus p3 moins 2p2, fois 1 demi. Donc, c'est ça que je vais faire. Je vais dire, attendez, ça c'est x2 plus un quart de 4x plus un demi de 2. 4x, je connais, c'est p3 moins p1. Et 2, je connais, c'est p1 plus p3 moins 2p2. Donc, c'est comme ça que je trouve mes coordonnées. J'arrive à exprimer x2, 4x et 2 très facilement en fonction de p1, p2, p3. Je recombine le tout, je mets les p1 ensemble, il y en a plein qui dégagent, des p2, des p3, machin. Le p2, il y en a un ici, un ici, ça s'en va. Il me reste donc un quart de p1 plus 0 plus trois quarts de p3. Hop, ça sera un vecteur qui s'écrit comme ça dans la base p1, p2, p3. Voilà, assez facile. Ça joue sur des petites combinaisons linéaires comme d'habitude. Posez-moi des questions s'il y a besoin et je vous retrouve sinon dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Coordonnées de polynômes

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