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Bases et dimension d'un ev

Dans ce cours, nous étudions un exercice basé sur des jeux de combinaisons linéaires. Nous avons cinq vecteurs de R4 (un espace de dimension 4). Nous les divisons en deux groupes : les trois premiers vecteurs dans le groupe F et les deux derniers vecteurs dans le groupe G.

Nous utilisons les combinaisons linéaires pour déterminer la dimension de F. En recombinant les vecteurs, nous trouvons que f (qui est la combinaison linéaire de V1, V2 et V3) a une dimension de 3.

Ensuite, nous examinons G et constatons que V4 et V5 ne sont pas colinéaires, donc la dimension de G est de 2.

Nous essayons de voir si nous pouvons trouver une base de R4 en ajoutant V4 à F ou en l'ajoutant négativement. Nous constatons que V4 ne peut pas être représenté comme une combinaison linéaire de V1, V2 et V3, ce qui signifie que F et V4 forment une famille libre et une base de R4.

Nous concluons que F plus G égale R4, car nous avons une base pour R4.

Enfin, nous calculons la dimension de F inter G. Utilisant la formule liant les dimensions de ces deux espaces, nous trouvons que F inter G a une dimension de 1.

En résumé, la dimension de F plus G est de 4, la dimension de F inter G est de 1. Nous utilisons des techniques de combinaisons linéaires pour obtenir ces résultats.

Un exercice intéressant qui va être beaucoup basé sur encore des jeux de combinaison linéaire. Je vous incite beaucoup sur le fait que vous preniez votre S et que vous essayiez de jouer comme ça. Je vous conseille de l'essayer cet exercice. Vous avez 5 vecteurs de R4. On va étudier un peu. On va appeler f égale vect de V1, V2, V3. G on va appeler vect V4, V5. Donc les 3 premiers d'un côté et les deux de l'autre. On va jouer un peu sur les dimensions et calculer des différentes choses. Moi pour faire ça j'aime bien jouer sur les combinaisons linéaires pour faire apparaître des résultats assez vite. Donc typiquement f on va jouer dessus pour comprendre sa dimension. Jouer dessus ça veut dire recombiner les vecteurs pour trouver facilement les résultats qu'on veut. Donc on a V1, V2, V3. Je me rends compte que je prends un genre de pivot si vous voulez que 2V1-V3 et 2V2-V3 c'est intéressant. Pourquoi ? Parce que j'obtiens des 0 de cette manière là. Ces 0 m'aident pas mal parce qu'ensuite je me rends compte que je peux aussi prendre U2 maintenant comme pivot et me débarrasser d'un U3. Je me retrouve en gros avec une famille un peu échelonnée si vous voulez. J'ai ici un 2, là des 0. Un 0 ici, voilà. Et ce truc là. Ces 0 en gros m'indiquent qu'un test de liberté donne tout de suite tous les lambdas qui sont nuls et la dimension qui est donc 3. Je trouve que c'est une famille à prendre 2 minutes. Au début peut-être qu'il faut encore rédiger le test de liberté, ça va venir tout seul. Assez vite votre prof de sup, surtout votre prof de sp, va tolérer que quand on a quelque chose d'échelonné on puisse dire la famille est libre. Ce sera un théorème de cours. Si vous ne l'avez pas déjà vu, on peut dire qu'un théorème, un test de liberté évident donne la liberté de la famille. Ensuite V4-V5. Ils sont non collinaires, c'est évident. C'est pas possible que ça soit parallèle à ça, notamment à cause des 0. Donc j'ai dimension 2. Avant de passer à la suite j'ai voulu réécrire un petit peu G, non pas comme V4-V5 mais comme V4-V5, parce qu'il y a moins de signes moins. Déjà ici ça m'arrange, je trouve ça plus joli. Et V5 plus 2V4 ici. Alors je me suis dit on a F, on a une famille libre ici. Ici on a une famille libre également. On est dans un espace de dimension 4. Donc en gros ces 5 vecteurs là ne sont pas une famille libre, c'est pas possible. On n'a pas une famille de taille 5 dans un espace de dimension 4, sinon on aurait une base de taille 5. Ça ne marche pas. Donc ce que j'ai voulu faire c'est regarder maintenant, est-ce que je n'aurais pas accès ici potentiellement à une base de R4 facilement. J'ai les éléments de F, peut-être que si j'ajoute aux éléments de F V4, ou moins V4, on s'en fiche, j'aurais une base de R4. Ça pourrait être intéressant. Vous allez voir pourquoi. Donc je vais essayer de regarder est-ce qu'il est possible de trouver une combinaison linéaire des éléments de F pour déterminer V4. En gros je fais un test de liberté entre V1, V2, V3, V4. J'écris tout ça et j'obtiens que c'est impossible. Il est impossible d'écrire V4 comme une combinaison linéaire de V1, V2, V3. Donc V1, V2, V3, V4 sont la forme d'une famille libre et donc une base de R4. Ça c'est top. Ça veut donc dire que vu que c'est une base de R4, et que j'ai V1, V2, V3 d'un côté, et que j'ai V4 qui est disponible dans G, je sais que dans F plus G, j'ai bien F plus G égale R4. J'ai bien une somme. Tout élément de R4 peut s'écrire comme un élément de F et un élément de G. Donc ce n'est pas des supplémentaires. Mais vu que j'ai V1, V2, V3, V4 qui est une famille génératrice, donc F plus G égale R4. Je me suis un peu perdu là, désolé. Donc pour résumer, dimension de F plus G, pas dimension de F plus dimension de G, mais dimension de F plus G, c'est dimension de R4, c'est 4. Ça c'est cool. Dimension de F plus G, c'est 4. Il ne me reste plus qu'à calculer la dimension de F inter G. Peut-être que vous voyez venir la solution. L'idée, c'est que maintenant que j'ai trouvé la dimension de F plus G relativement facilement, je trouve qu'on pourrait faire l'exercice dans l'autre sens. D'abord calculer ça, puis conclure ça. Moi je l'ai fait dans ce sens-là. Je peux utiliser la formule qui lie les dimensions de ces deux éléments pour conclure. Donc comme dim de F plus G c'est 4, F inter G, je n'ai pas envie de déterminer ce que c'est. C'est chiant honnêtement. Trouver les éléments communs, ça va être très embêtant. J'utilise la dimension et je me dis que dim de F plus G, je sais que c'est dim de F plus dim de G moins dim de l'intersection. Dim de F, dim de G, je les ai trouvés, c'est 3 et 2. Je trouve que nécessairement l'intersection est une dimension 1. Voilà. On utilise un peu des petites techniques comme d'habitude, et un petit peu une méthode pour trouver la dimension de F inter G en passant par d'abord la dimension de F plus G. J'ai vu un corrigé de cet exercice qui faisait le contraire, qui partait plutôt dans un autre raisonnement pour trouver une dimension de F inter G que je trouvais moins intuitif. Donc j'ai préféré vous le montrer comme ça. Dites-moi en commentaire ce que vous en pensez. N'hésitez pas à me poser des questions. Et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

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