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Matrices de Matrices !
Dans cet exercice, nous étudions une application F définie par F(M) = AM, où A est une matrice fixée. Il est important de noter qu'il ne s'agit pas de F associée à la matrice A, mais plutôt d'une application linéaire d'un espace de dimension 4 à lui-même.
Pour montrer que F est linéaire, on utilise les règles de linéarité du produit matriciel. En prenant M et N comme éléments de M22R (matrices de dimension 2x2 ayant des éléments réels), et lambda et mu comme constantes réelles, on obtient F(lambdaM + muN) = lambdaAM + muAN, ce qui prouve la linéarité de F.
Ensuite, pour déterminer la matrice de F dans la base canonique de M22R, on considère les éléments de base E1 1, E1 2, E2 1 et E2 2. On calcule F(E1 1), F(E1 2), F(E2 1) et F(E2 2) en multipliant chaque élément par A. En regroupant ces résultats dans une matrice 4x4, on obtient la matrice de F dans la base canonique.
Il est important de noter que l'ordre dans lequel les éléments de base sont rangés peut varier, mais généralement, dans le cas de la base canonique, l'ordre est E1 1, E2 1, E1 2 et E2 2.
J'espère que cette explication était claire. À bientôt pour une prochaine vidéo.
