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Matrice d’une rotation
Dans ce cours, on étudie une puissance n d'une fonction a2x = cos(x) - sin(x). On utilise une méthode en deux temps : d'abord, on essaye avec de petites valeurs de n, puis on utilise la récurrence pour généraliser.
On begin par calculer a2x, qui donne cos(2x) - sin(2x). En remarquant que cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) et que sin(2x) = 2sin(x)cos(x), on peut réécrire a2x comme cos²(x) - sin²(x) - (2sin(x)cos(x)). On peut généraliser cette forme pour a2n en utilisant la récurrence avec cosnx - sinnx.
On fait une initialisation pour n=0, n=1 et n=2 pour montrer que la récurrence est vraie. Ensuite, on montre que la récurrence est vraie pour n+1 en utilisant les formules cos(a+b) et sin(a+b). On obtient alors cos(n+1)x - sin(n+1)x.
Pour les valeurs de n entiers négatifs, on calcule d'abord a-1(x) en utilisant l'inverse de la matrice 2x2 associée à cos(x) - sin(x). On obtient que l'inverse de a2x est la transposée de a2x. En utilisant les propriétés de la transposée et des puissances, on montre que a-n(x) = (a-1(x))^n, ce qui donne la même forme que pour les valeurs de n positives avec un signe moins à un autre endroit.
En résumé, on a trouvé une relation générale pour la puissance n de la fonction a2x = cos(x) - sin(x) en utilisant la récurrence et en montrant que cela fonctionne aussi pour les valeurs de n entiers négatifs.
