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Algèbre

Changement de base, matrices de passages 

Dans ce cours, nous étudions une application linéaire de R3 dans R2. Nous voulons montrer que les bases E1', E2', E3' et F1', F2' sont libre pour R3 et R2 respectivement. Afin de montrer la liberté de ces vecteurs, nous les combinons de manière appropriée pour prouver que les coefficients correspondants sont nuls. De plus, nous montrons que F1' et F2' sont indépendants puisqu'ils ne sont pas collinaires. Ensuite, nous cherchons la matrice de l'application linéaire U dans ces nouvelles bases. Pour cela, nous exprimons U(E1'), U(E2'), et U(E3') en termes de F1' et F2'. En utilisant la définition de U dans la base canonique, nous calculons ces expressions dans la base canonique avant de les réécrire dans la base F1, F2. Ensuite, nous essayons différentes combinaisons linéaires de F1' et F2' pour exprimer les résultats dans la base F1', F2'. En résolvant un système ou en faisant des essais, nous trouvons les coefficients appropriés. Finalement, nous obtenons la matrice de U dans les nouvelles bases en utilisant les expressions trouvées. Il est recommandé de faire ces calculs mentalement, mais il est également possible de poser des systèmes d'équations pour obtenir les coefficients.

un exercice intéressant où on va essayer de voir un petit peu comment jouer avec les différentes bases, avec différentes familles et une application linéaire. Donc une application linéaire de R3 dans R2, donc déjà on n'a pas d'endomorphisme, on sort un petit peu d'un cadre très classique, dont la matrice dans la base canonique est la suivante. De R3 dans R2 ça a du sens, on arrive dans R2, on part de R3, c'est-à-dire que ça c'est U de 1 0 0, ça c'est U de 0 1 0 et ça c'est U de 0 0 1. On appelle E1, E2, E3 la base canonique, F1, F2, ok. On pose différents vecteurs. Montrer que E1', E2', E3' est une base de R3 est la même chose pour F1', F2'. A priori, dans R3 on a trois éléments, il suffit de montrer qu'ils sont libres, dans R2 on a deux éléments, il suffit de montrer qu'ils sont libres. Voilà, ça ça va pas être très compliqué. Test de liberté rapide pour les trois premiers, vous le posez. Tout ce qu'il faut faire, la technique c'est toujours la même, c'est de mettre ensemble tous les éléments. On sait que E1, E2, E3 est une base donc on les met ensemble. On met E1 qui est combien de fois ? On en retrouve un ici, un ici, donc fois lambda 2 plus E3. E2 on le retrouve ici et ici donc on les met ensemble, on trouve ça. Et E3 on en trouve un là et là, on les met ensemble. Donc j'en déduis, comme E1, E2, E3 est une base, que ce coefficient, celui-ci et celui-ci sont nuls. Or, ils sont des combinaisons très très très triviales de lambda 1, lambda 2, lambda 3, donc ça me permet de conclure très vite que les trois sont nuls. J'ai bien une famille libre, donc une base. Je fais exactement la même chose pour F1' et F2', même pas en fait, un truc beaucoup plus simple, pardon. Ils ne sont pas collinaires. On est dans R2, donc c'est facile. Ils ne sont pas collinaires, donc ils sont indépendants, c'est une base. Voilà. Alors, montrer, quelle est la matrice de U dans ces nouvelles bases ? C'est là que ça devient un peu intéressant, donc il faut essayer d'exprimer maintenant, dans la nouvelle base, donc on va essayer d'exprimer, si vous voulez, U de E1', U de E2', et U de E3', non pas dans F1, F2, mais dans F1' et F2'. On va regarder comment faire. Donc, au début, on peut calculer. U de E1', je le fais un peu comme un point, c'est U de E2 plus E3, c'est donc U de E2 plus U de E3. Ça, on connaît, c'est U de E2, par définition, c'est la deuxième colonne de la matrice, U de E3, c'est la troisième colonne. Donc j'écris. Et j'écris tout ça, d'abord, enfin donc c'est l'astuce, d'abord j'écris dans la base canonique, classique, j'écris. Donc là, en fait, je vais le remplir. Ça, c'est exprimé dans F1, F2. Ici, j'ai U de E1, U de E2, U de E3. Donc j'utilise l'expression dans F1, F2. Première étape. Et c'est ensuite, quand j'ai trouvé donc 0, moins 1, ça c'est mon expression dans F1, F2, que j'essaye de me dépatouiller pour exprimer ça comme une combinaison linéaire, enfin la combinaison linéaire unique de F1' et F2'. Là, j'y vais un peu à l'arrache. Il est possible, ce que je vous conseille de faire, je dis à l'arrache, c'est rigolo comme expression, mais c'est vraiment ce qu'il faut faire, je pense que c'est le plus rapide pour vous, élèves de prépa, il est possible de poser un système à chaque fois et de dire quelle est la combinaison linéaire unique lambda mu qui donne 0, moins 1 de ces deux vecteurs. Je pense qu'en général, c'est plus intéressant de le tenter, surtout quand il y a un 0. Vous voyez, il y a un 0, donc vous dites celui-là, moins celui-là, ça devrait marcher. En l'occurrence, ça fonctionne, c'est moins celui-ci, plus celui-là, donc je trouve moins F1' plus F2'. Boum, j'ai le premier. U2, E2', je fais pareil. Je calcule U2', U2, E2' dans la base F1, F2, c'est 3 et 0. Vu qu'il y a un 0, c'est aussi pas très compliqué, je me rends compte que ça va sûrement être ça plus ça. Or, ça plus ça, ça fait quoi ? Ça fait 1, en haut ça fait 1, ici ça fait 0, donc je vais multiplier par 3 pour avoir 3 en haut, donc je comprends que ça fait 3F1' plus 3F2', ici. Je fais le dernier, U2, E3', j'obtiens 1 et 5, alors là, vous le posez, ça marche. Vous posez le système, ça marche. J'ai voulu être un peu foufou et aventureux, et ça a payé. Me dire, bon, je veux un 5, je veux du 1 en haut, donc c'est-à-dire qu'il faut quand même que j'ai beaucoup plus... Enfin, si j'ai du 5 et que là, ça me fait enlever des morceaux de la deuxième coordonnée et là, ça m'en rajoute, il faut quand même que j'ai pas mal de ce vecteur-là et peu de celui-là. Mais en même temps, je ne veux que 1 en haut, donc attention, on va essayer de voir. Et donc, ce que j'ai fait, c'est que je me suis dit, attends, attends, mais en fait, non, ça, ça ne marchera pas, parce que ça va foirer. Vu qu'il y a un moins ici, je vais utiliser peut-être un moins ici pour avoir beaucoup en bas, donc je vais faire du plus ici et un moins ici, et donc comme ça, j'aurai quelque chose qui marche. À force de penser comme ça, c'est vraiment, vraiment à la main, quoi. J'ai tenté, si je fais x6, ça me fera un 3, un 3 ici, et combien je rajoute ? Enfin, j'ai tenté 6, parce que ça me semblait assez gros, j'ai tenté que les nombres pairs, donc 2, c'était clairement pas assez, 4 non plus, j'ai tenté 6, j'ai vu que 6, ça me faisait 3, 3 moins 2 fois celui-là, enfin, moins 2 fois ça, ça me faisait tomber sur un 5 et il se trouve que ça a fonctionné. Voilà, donc j'ai essayé plusieurs trucs dans ma tête, j'ai essayé de faire 2 fois celui-là, j'ai essayé de faire 4 fois celui-là, j'ai essayé de faire 6 fois celui-là, ça a marché, j'ai trouvé ça. Il me semble que si vous êtes capable de faire vite ces petits essais sur des petites valeurs, quand ça fonctionne, là au bout de 2-3 essais, ça va toujours plus vite que de faire le système. À vous de voir, vous pouvez aussi poser un système, mais j'aime bien vous montrer que ça c'est faisable. Donc quand j'ai ça, je trouve 6 moins 4, j'ai plus qu'à tracer la matrice, moins un 1, 3 3, 6 moins 4, et c'est fini. Chaque calcul en deux temps, exprimer d'abord tout bêtement dans f1 et f2, puis ensuite trouver la combinaison linéaire intelligente dans f1' et f2'. Et voilà, j'espère que c'était clair. Moi je vais vous encourager toujours à faire des calculs le plus possible dans votre tête et à triturer les matrices, mais s'il faut, si ça vous rend plus rassuré, posez les systèmes. Bye bye.

Changement de base

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Matrice de passage