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Bachelor Polytechnique 

Dans cette vidéo, l'exercice consiste à résoudre pour tout nombre complexe Z l'équation ZZ-bar-i. Le professeur rappelle qu'il est important de toujours réfléchir à des méthodes de calcul de base et d'optimisation pour résoudre les exercices plus rapidement.

Le professeur suggère de chercher une simplification ou un argument géométrique pour faciliter la résolution de l'équation. Dans cet exercice, il remarque que ZZ-bar représente le carré du module de Z et suggère de considérer que l'équation représente l'ensemble des points d'un cercle. Cependant, cela ne permet pas de résoudre immédiatement l'équation.

Le professeur propose donc une méthode plus brutale consistant à poser Z en utilisant la forme A+IB. Il explique qu'il préfère généralement éviter cette méthode brutale, mais estime qu'elle est plus efficace dans cet exercice particulier. Il développe mathématiquement l'équation avec cette méthode et trouve que cela mène à un polynôme pour lequel le discriminant est négatif, ce qui signifie qu'aucun nombre complexe ne satisfait l'équation.

Il souligne l'importance de maîtriser ces petites questions simples lors des examens oraux et invite les spectateurs à consulter d'autres vidéos de sa chaîne où il résout d'autres exercices de difficulté variée. Il conclut en disant au revoir et en se donnant rendez-vous pour la prochaine vidéo.

Bienvenue pour cette vidéo où je corrigeais un exercice assez simple qui est tombé à l'oral du bachelor de polytechnique. Comme d'habitude, je prends toujours ces exercices comme une occasion de vous rappeler des petits principes de calcul de base, de calcul optimaux qui peuvent vous faire gagner du temps et aller beaucoup plus vite. En tout cas, optimiser votre résolution d'exercice. Donc ici, quand on a un exosolve in C, donc résoudre pour tout nombre complexe, Z-bar-1, il y a ZZ-bar-i, réflexe général, si il n'y a pas quelque chose qui vous saute aux yeux, une simplification ou peut-être un argument géométrique, toujours se dire qu'il existe une méthode brute, un peu brutale, qui va toujours permettre d'avancer. Vous pouvez vous permettre, c'est le premier truc que je ferai peut-être, je ne l'ai pas écrit, mais de réfléchir un peu si vous voulez. Vous pouvez essayer de réfléchir, regarder, peut-être ZZ-bar, je reconnais, voir s'il n'y a pas un argument qui fait qu'on trouve tout de suite, c'est un cercle, par exemple. Se dire ça, c'est l'ensemble des points d'un cercle qui vérifie cette équation. Ce serait un exemple. Si ça ne vient pas tout de suite, ce qui est un peu le cas ici, alors peut-être que ça m'a échappé, donc dites-le moi, mais là c'est un peu le cas, je me suis dit bon, au pire, ce n'est pas grave, si on n'arrive pas à faire un truc très élégant géométrique, on y va un peu bourrin, et la méthode bourrine qui marche tout le temps, c'est la méthode poser Z et y aller A plus IB. Si vous la connaissez, vous savez qu'il faut faire ça. En général, j'aurais plutôt tendance à vous dire, dans des exos que moi je présenterais, sinon je ferais exprès, mais des exercices où je valoriserais quelqu'un qui ne fait pas cette méthode brutale, mais ici, c'est un exo où j'ai l'impression que c'est le truc le plus efficace. Donc faisons-le. Le premier truc qu'il faut remarquer, c'est ZZ-bar, petit rappel, ça c'est le module au carré, ça fait A2 plus B2, donc vous écrivez Z-bar-1, c'est A-IB, A2 plus B2-I ici, on met tout du même côté, en tout cas on identifie plutôt partie réelle, partie imaginaire. Donc on met A-1 plus I fois moins B ici, A2 plus B2 plus I fois moins 1 ici. Ce que je vais utiliser comme argument ici, c'est que deux noms complètes qui sont égaux, si partie réelle et imaginaire sont égales, donc je peux avoir le système A-1 égale A2 plus B2, B égale 1, ça c'est assez simple. Je remplace B égale 1, et j'obtiens un polynôme A2 moins A plus 2 égale 0. Il se trouve que celui-là a un delta négatif, c'est moins 1 au carré moins 4 fois 1 fois 2, donc c'est négatif, et ben delta négatif, c'est-à-dire que j'ai aucun A qui vérifie ça, j'ai donc aucun nombre complexe qui vérifie l'équation de départ. Assez direct. Je voulais insister un petit peu sur, peut-être des fois, regardez, ça on aurait pu se dire, vu que c'est un module au carré, peut-être que derrière il y a l'idée d'un cercle, voilà. Là c'est pas le cas, donc des fois il faut juste aller un peu bourrin, bourrin c'est un mot fort, mais un petit peu bourrin, et poser un Z comme ça, ça se résout tout seul. Je pense qu'à l'oral du bachelor de polytechnique, quand vous avez ça, faut pas le voir comme votre exercice d'oral complet, c'est un oral qui peut durer plus longtemps, donc en soi c'est peut-être la première question. En gros on fait le tri entre les candidats, première question, un truc simple, s'ils y arrivent pas, peut-être compliqué pour eux, donc il faut savoir assurer ces petites questions aussi, s'ils y arrivent, on passe à un exercice un peu plus complexe. Vous pouvez parcourir la chaîne d'ailleurs, j'en ai fait plusieurs qui sont tombées à l'oral du bachelor, j'en ai fait du simple, des plus compliqués, en général ça se voit au temps de la vidéo, et je vous retrouve en tout cas pour une prochaine. Bye bye !

Une équation de complexes

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