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Oxford 2021

Dans cette vidéo, l'auteur présente un exercice de géométrie concernant un dodecagone régulier. Il explique que cela consiste en un polygone à 12 côtés, dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles internes sont égaux. Pour résoudre l'exercice, il suggère de diviser le dodecagone en triangles égaux et de calculer l'aire d'un de ces triangles. Il donne deux options pour le calcul de l'aire : soit en traçant une hauteur, puis en utilisant la formule de l'aire d'un triangle, soit en utilisant la formule des sinus. Il explique cette formule et montre comment l'utiliser pour obtenir l'aire de l'un des triangles. Ensuite, il multiplie cette aire par 12 pour obtenir l'aire totale du dodecagone, ce qui donne comme réponse 3. En conclusion, l'auteur souligne l'importance de comprendre les mécanismes d'accélération pour résoudre rapidement ce type d'exercice lors d'un concours.

Hello à tous, aujourd'hui on retrouve un peu des classiques de ma chaîne, je vous fais un exercice du Math Admission Test qui est utile pour rentrer aux universités d'Oxford, Impérial et Warwick. Lisons avec attention l'énoncé de cet exercice qui est le premier exercice, la première question du MAT, Math Admission Test de 2021. Donc c'est la géométrie, un dodecagone régulier, donc dodecagone, on sent que c'est genre un hexagone plus compliqué, hexagone c'est bon ben la France schématisée, un dodecagone régulier est un polygone à 12 côtés, ce 12 sided polygone, dont tous les côtés with all sides the same length, ont la même longueur, and all internal angles et tous les angles internes sont égaux également. Donc si je prends un petit hexagone bien connu, hop, ça veut dire que ce qu'on vous dit, c'est qu'à l'intérieur c'est divisé en des espèces de triangles qui sont égaux, qui ont le même angle comme ça. On vous dit c'est la même chose pour un dodecagone. Disons qu'on construit un dodecagone régulier en connectant 12 points equally spaced, répartis de manière séparée par un espace de même taille, séparés de la même manière autour d'un cercle. Donc si vous voulez, en gros là, je prends 12 points, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, je les rejoins tous, ça me fait un dodecagone, alors je m'arrange pour le faire régulier. J'ai 12 points comme ça dans un cercle de rayon 1, ça me fait un dodecagone régulier. Quel est l'air de ce polygone ? L'air c'est-à-dire tout ce qu'il y a dedans, tout ce qu'il y a dans ce truc-là. Je suis paresseux, je n'ai pas envie de le faire en entier, donc très vite, par paresse et par efficacité, je me rends compte qu'un des triangles ici sera en fait un douzième de la figure totale. Donc en fait, je ne vais pas me prendre la tête, je vais comprendre que là je peux avoir un triangle isocèle qui vaut 360 divisé par 12, son angle ici, son angle en haut vaut 360 divisé par 12, cet angle-là je vais l'appeler alpha, ça vaut 360 divisé par 12, ça vaut 30 degrés. Une fois que j'ai compris que mon air total c'est 12 fois l'air de ce petit triangle, il n'y a plus qu'à y aller. Il faut que je regarde comment je fais. Moi ce que j'ai c'est un triangle ici avec un côté 1, un côté 1, un angle. Donc en gros j'ai un triangle isocèle dont je connais deux côtés et je connais l'angle ici. Vous avez deux choix, soit vous partez sur un tracé de hauteur et puis calculez l'air, ça va marcher tout seul, vous calculez l'air d'un demi ici, c'est très simple, vous vous débrouillez, ça peut être gérable. Soit vous vous souvenez d'une formule qui permet de calculer l'air d'un triangle à partir de deux côtés et d'un angle. Je vous rappelle d'ailleurs la formule des sinus. La formule des sinus vient de ce calcul d'air dont je parlais juste avant. Il y a un calcul d'air qui est très simple, je ne vais pas réussir à faire la démonstration tout de suite mais en gros là vous mettez un H comme ça et vous calculez l'air de ce triangle en divisant en l'air de ce triangle plus celui-ci et vous trouvez R de ABC égale 1 demi de BC sin A avec les longueurs et les angles définis comme la figure au-dessus, qui est aussi égal à 1 demi de AC sin B, B est l'angle donc, qui est aussi égal à 1 demi de AB sin C. L'astuce ensuite, une fois que ça c'est bien établi et que vous l'avez compris, c'est que vous dites que tout est égal, vous virez les 1 demi et vous divisez tout par ABC pour retrouver la formule des sinus. Il y a un lien, c'est une occasion de vous rappeler la formule des sinus. Je vais vous rappeler l'air comme ça. Une fois que j'ai ça c'est très simple. Je peux calculer l'air de OAB et j'applique, ça fait 1 demi fois OA fois OB 1 fois 1 fois sinus de 30 degrés. C'est en degrés mais voilà. Ça vous fait 1 demi fois 1 fois 1 fois 1 demi égale 1 quart. Et donc l'air total, bon air tot, du dodecagone, ça vous fait 12 fois 1 quart égale 3. Parfait, réponse E. Voilà, c'était une petite vidéo assez rapide, un petit exo. L'idée c'est de vite vous montrer les... Oups, c'est ma ligne de démarcation. Vous démontrer en gros comment simplifier les problèmes très vite parce que des questions comme ça, le jour, si vous passez ce concours, on sait jamais, si vous le passez, c'est très rapide, vous avez beaucoup beaucoup de questions. Donc il faut vraiment s'entraîner à en faire pas mal pour comprendre les petits mécanismes d'accélération. Voilà, c'est ce que je voulais vous montrer, j'espère que c'était utile. N'hésitez pas à me poser des questions en commentaire et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye ! Sous-titres par Juanfrance

Aire d'un dodécagone !

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