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Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

On a un gérant de magasin d'informatique qui a reçu un lot de clés USB. 5% des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que 60% des boîtes abîmées contiennent au moins une clé défectueuse. 98% des boîtes non abîmées ne contiennent aucune clé défectueuse. Un client achète une boîte du lot. On cherche à calculer les probabilités suivantes : P(A), P(~A), P(D|A), P(D|~A), P(~D|A), P(~D|~A), et P(D). En utilisant la formule des probabilités totales, on obtient P(D) = 4,9%. Si un client constate qu'une clé achetée est défectueuse, la probabilité qu'il ait acheté une boîte abîmée est de 61,2%. Il y a donc 40% de chances qu'une clé défectueuse provienne d'une boîte non abîmée.

Encore une méthode de proba assez classique, il faut comme d'habitude bien traduire l'énoncé, bien le comprendre et donc faire un petit arbre notamment pour céder. Donc on a le gérant d'un magasin d'informatique qui a reçu un lot de clés USB, 5% des boîtes sont abîmées. Donc on reçoit des boîtes avec des clés dedans, le carton est un peu moche. Le gérant estime que 60% des boîtes abîmées contiennent au moins une clé défectueuse. Donc le carton est moche, ça a eu une implication sur une clé à l'intérieur qui s'est pétée. 98% des boîtes non abîmées, donc pas de choc a priori, ne contiennent aucune clé défectueuse. Donc il y a peut-être 2% qui ont des clés défectueuses pour raisons autres j'imagine que le choc. Donc très important de comprendre qu'il y a la notion de choc sur le carton et de clé défectueuse. Il peut y avoir une clé défectueuse due à un choc, un livreur qui a abîmé un peu le carton, ou des clés défectueuses de manière naturelle entre guillemets, ce qui a l'air d'être à peu près 2% des cas. Ce qui n'est pas top pour une chaîne de production de clés USB. Un client achète une boîte du lot, on désigne par A l'événement la boîte est abîmée, par D l'événement la boîte achetée contient au moins une clé défectueuse. Donnez les probas de tout un pouce qui est important honnêtement. P2A, P2A bar, P2D sachant A, P2D sachant A bar, P2D bar sachant A, P2D bar sachant A bar, et calculez la proba D. Honnêtement je vais vous faire un arbre qui va tout résumer. P2A005, on a 5% de chance d'avoir une boîte abîmée, donc 95% de chance pour P2A bar complémentaire, enfin événement contraire. Alors quand on a une boîte, 60% des boîtes abîmées contiennent une clé défectueuse, on a une clé défectueuse à 0,6, une clé non défectueuse à 0,4. Et quand une boîte est non abîmée, donc A bar, combien contient une clé défectueuse ? Seulement 2%. Donc j'ai P2A, P2A bar, j'ai P2D sachant A, P2D sachant A bar, P2D bar sachant A, P2D bar sachant A bar, ce sont les 4 qui sont ici. En déduisant la probabilité de D, là je comprends que j'ai une division de l'univers, un système complet d'événements entre A et A bar. Donc soit la boîte est abîmée, soit elle ne l'est pas. Et donc je vois que P2D peut être un ensemble de 2 branches, les 2 manières que j'ai d'arriver à D, soit par une boîte abîmée, soit par une boîte non abîmée. Ce qui me donne la formule des probas totales. P2D égale P2A inter-D plus P2A bar inter-D. Très facile, donc c'est ça fois ça plus ça fois ça. Et on obtient, après un calcul brillantissime et extrêmement complexe, des petites additions, 4,9%. Le client constate qu'une des clés achetées est défectueuse, quelle est la proba pour laquelle il a acheté une boîte abîmée ? On me donne une inversion cette fois-ci, P2A sachant D. Et bien j'utilise, bam, la formule d'inversion de Bayes qui est ici, à apprendre par cœur bien sûr. Et donc j'obtiens P2D sachant A fois P2A divisé par P2D, tout ça on a déjà calculé. On obtient son problème, P2D la question de dessus, 61,2%. Donc si il a une clé défectueuse, il y a quand même 60% de chance qu'il ait eu une boîte abîmée. Mais 40%, sinon si vous voulez on peut le voir comme ça, il y a parmi les gens qui obtiennent une clé défectueuse, 60% avaient une boîte abîmée, 40% n'avaient pas de boîte abîmée. Donc ça veut dire quand même qu'il y a pas mal de clés défectueuses quand ça arrive, qui viennent juste de la normalité des clés défectueuses pour les boîtes sans choc. Voilà, j'espère que ça vous a aidé, en gros c'est encore une petite illustration bien intéressante. Posez des questions s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Formule de Bayes

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