Home

MPSI/PCSI

Physique-Chimie

Physique

Moment cinétique

Dans cette vidéo, on étudie le mouvement de Tarzan se déplaçant le long d'une liane. Tarzan est assimilé à un point matériel de masse 70 kg. La liane est de longueur 10 mètres et de masse négligeable, accrochée à un point fixe O. Lorsqu'il attrape la liane, celle-ci forme un angle de 30 degrés avec la verticale. On néglige les frottements et la masse de la liane.

La première question est de justifier l'utilisation des coordonnées polaires. Le mouvement s'effectue dans le plan vertical, car les forces appliquées sur Tarzan (son poids et la tension de la liane) sont verticales. De plus, le mouvement démarre avec une vitesse nulle, ce qui confirme que le mouvement se déroule dans le plan vertical. Étant donné que le mouvement est à la fois vertical et circulaire, on peut utiliser des coordonnées polaires.

La deuxième question consiste à utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour obtenir l'équation du mouvement. L'énergie cinétique du système est égale à 1/2 * masse * (longueur de la liane)^2 * (dérivée de l'angle theta par rapport au temps)^2. Les puissances des forces appliquées (poids et tension de la liane) sont calculées. En dérivant l'énergie cinétique par rapport au temps, on obtient l'équation du mouvement : (dérivée seconde de l'angle theta par rapport au temps) + (gravité * sinus de l'angle theta / longueur de la liane) = 0.

La dernière question est de déterminer la tension s'exerçant sur Tarzan lorsque la liane forme un angle theta avec la verticale. On applique le principe fondamental de la dynamique : la masse fois l'accélération est égale à la somme des forces (poids et tension de la liane). En projetant cette équation sur le vecteur unitaire UR, on obtient une expression pour la tension en fonction de la masse, de la gravité, de l'angle theta et de l'angle alpha (angle lorsque Tarzan attrape la liane) : tension = 3 * masse * gravité * cos(theta) - 2 * masse * gravité * cos(alpha).

Cet exercice est important pour comprendre le mouvement de Tarzan le long de la liane. La deuxième partie, où l'on cherche à déterminer la tension, est particulièrement significative. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser en commentaire.

Bonjour à tous, c'est Théobald de Studio, et dans cette vidéo, on va s'intéresser à Tarzan qui se déplace grâce à des lianes, et on va s'intéresser à son mouvement le long d'une liane. On nous dit que Tarzan se déplace grâce à des lianes, et il est assimilé à un point matériel P et de masse M, 70 kg. On considère une liane de longueur L qui vaut 10 mètres et de masse négligeable accrochée à un point fixe O, et lorsqu'elle va être attrapée, la liane fait un angle alpha égale 30 degrés avec la verticale. Donc vous l'aurez compris, on a notre liane qui est comme ça, Tarzan qui est au bout, et qui va se déplacer dans ce sens-là. On dit qu'on néglige les frottements et la masse de la liane. Première question, on va nous demander de justifier qu'on peut utiliser des coordonnées polaires. Dans la deuxième question, on nous demande à l'aide du théorème de l'énergie cinétique de donner l'équation du mouvement, et enfin on nous dit qu'il faut déterminer la tension qui s'applique sur Tarzan lorsque la liane fait un angle θ avec la verticale. On est parti pour la première question, qui est de justifier qu'on peut utiliser des coordonnées polaires. Pour pouvoir utiliser des coordonnées polaires, il faut qu'on ait deux choses, que le mouvement s'effectue dans un unique plan, et que ce mouvement soit circulaire. Donc on est parti, dans quel plan s'effectue le mouvement ? Notre mouvement va s'effectuer dans le plan vertical. En effet, si on regarde les différentes forces qui s'appliquent sur notre système qui est Tarzan, on a son poids, qui est vertical, et on a la tension de la liane, qui est dirigée vers le point d'attache de la liane, et sa droite d'action est la liane elle-même, qui elle-même est verticale. Donc les deux forces sont dans le plan vertical, mais il faut aussi regarder les conditions initiales. Et en fait, on a une vitesse initiale nulle. Qui dit vitesse initiale nulle dit que si nos forces sont dans un plan, et bien notre mouvement sera dans ce même plan. Donc notre mouvement est bien dans le plan vertical. Et ce qu'il faut maintenant, c'est que ce mouvement soit circulaire. Et bien ça c'est vrai aussi, puisque une fois que Tarzan va attraper la liane, il attrape la liane ici, et puis il va avoir un mouvement circulaire comme ça, au bout de la liane. Donc on peut utiliser des coordonnées polaires, et c'est même malin d'utiliser des coordonnées polaires. Et notre schéma ressemble à quelque chose comme ça, faites attention à bien placer UR et UTTA pour que UR et UTTA soient dans le sens direct. Donc on a notre schéma. Deuxième question, on nous demande à l'aide du théorème de l'énergie cinétique de donner, de trouver l'équation du mouvement. Alors le théorème de l'énergie cinétique, il nous dit que la dérivée de l'énergie cinétique par rapport au temps est égale à la somme des puissances de mes différentes forces qui s'appliquent à mon système. Ça vous devez le connaître, sinon vous êtes bien embêtés pour faire la suite. Et donc l'énergie cinétique de mon système, quelle est-elle ? Et bien c'est 1 demi de MV carré avec V qui est ici la norme de ma vitesse, et mon vecteur vitesse, il vaut DOP sur DT, et vu que OP vaut LUR, et bien DOP sur DT vaut L théta point U theta. Donc j'ai bien mon énergie cinétique qui est 1 demi de ML carré theta point carré. Quelles sont les puissances que je dois considérer ? Et bien si je refais un petit bilan de mes actions mécaniques, on a notre poids, notre poids qui est dirigé comme ceci, qui vaut MG, et puis qui vaut en coordonnées polaires, MG cos theta UR moins MG sin theta U theta. Prenez le temps de bien trouver cette formule-ci. Moi ce que je vous conseille c'est de dire si l'angle est présent entre P et UR, et bien c'est un cosinus, s'il est absent c'est un sinus, l'angle n'est pas présent entre P et U theta, et si la force et mon vecteur tirent entre guillemets dans les deux sens, c'est un plus. Donc P et UR sont dans le même sens, c'est un plus, par contre P et U theta tirent dans des sens opposés, dans des directions opposées, donc c'est un moins. Donc une fois que j'ai mon expression pour mon poids, je peux trouver la puissance du poids, j'ai juste à faire scaler V, et donc je trouve moins MG sin theta L theta point. Pour ce qui est de la tension de l'alléane, elle est juste là, et elle vaut moins T UR avec T qui est positif. Et sa puissance, elle, est nulle, puisque cette tension est perpendiculaire au mouvement. Donc d'après le théorème de l'énergie cinétique, ma dérivée de l'énergie cinétique par rapport au temps est uniquement égale à la puissance du poids. Donc j'ai juste dérivé ici mon énergie cinétique, et je trouve que mon équation du mouvement c'est theta point point plus G sur L sinus theta égale zéro. Une fois qu'on a l'équation différentielle, on nous demande quelle est la tension qui s'applique sur Tarzan lorsque l'alléane fait un angle theta avec la verticale. On nous demande d'exprimer cette tension en fonction de M, G, theta et alpha, alpha étant notre angle lorsque Tarzan attrape l'alléane. Donc pour ça il faut appliquer le principe fondamental de la dynamique. Qu'est-ce qu'il nous dit ? Il nous dit que MA est égale à la somme des forces, donc P plus T. Pourquoi est-ce qu'on fait ça ? Eh bien parce qu'ici on a T, et donc c'est grâce à ça qu'on va pouvoir trouver notre tension. Donc ce qu'il faut faire maintenant c'est d'exprimer mon accélération dans mes coordonnées polaires. Donc c'est L theta point point U theta moins L theta point carré UR équivaut donc mon poids plus ma tension. Hop, est-ce que ça veut bien marcher ? Voilà, donc je vais projeter ensuite tout ça sur UR. Pourquoi sur UR ? Eh bien parce que la norme de ma tension est ici sur UR. Donc on a moins L theta point carré M plus MG cos theta est égal à moins T. J'ai pris uniquement mes termes sur UR qui sont ici et ici. Donc j'ai une expression pour T qui est ML theta point carré moins MG cos theta. Ok c'est bien on a une expression pour T, par contre on n'a pas de alpha dedans. Et nous on veut du alpha, c'est la consigne. Donc comment est-ce qu'on va faire ? Eh bien on va partir de mon énergie potentielle. Mon énergie potentielle, pour la trouver il faut que je prenne une référence d'énergie potentielle. J'ai choisi comme référence moi l'endroit le plus bas possible pour Tarzan, c'est-à-dire quand il est à la verticale. Et donc mon énergie potentielle c'est MGL avec L la longueur de la liane moins MGL cos theta. Donc MGL facteur de 1 moins cos theta. Vous avez l'habitude normalement de trouver ce genre d'énergie potentielle. On sait que l'énergie mécanique c'est EC plus EP et donc cette énergie mécanique elle est constante et elle vaut aussi l'énergie cinétique quand theta est à l'alpha plus énergie potentielle quand theta est à l'alpha. Sauf que l'énergie cinétique quand theta est à l'alpha, eh bien elle est nulle. Et l'énergie potentielle quand theta est à l'alpha est égale à MGL 1 moins cos alpha. Donc à un theta quelconque, je peux dire que mon énergie cinétique est égale à MGL 1 moins cos alpha. Donc 1 demi de ML carré theta point carré plus MGL 1 moins cos theta, donc ça c'est toute mon énergie mécanique, est égale à la valeur de l'énergie mécanique ou de l'énergie potentielle quand theta est à l'alpha. Donc on a cette expression en simplifiant un petit peu et donc moi ce que je veux trouver ici c'est theta point carré et exprimer theta point carré en fonction des autres variables. Donc theta point carré c'est 2G sur L facteur de cos theta moins cos alpha. Pourquoi est-ce que je vais trouver theta point carré ? Eh bien parce qu'il est juste là et donc je vais pouvoir après substituer son expression dans l'expression de T. Et ça c'est bien utile. Donc j'ai theta point carré et je remplace dans mon expression de T la valeur de theta point carré. Et donc finalement lorsque l'alien fait un angle theta avec la verticale, la tension qui s'applique sur Tarzan, eh bien c'est celle-ci, c'est 3MG cos theta moins 2MG cos alpha. Cette valeur vous la reverrez normalement assez souvent quand on étudie des pendules, on la retrouve assez souvent. Donc voilà. C'est un exercice assez important, surtout cette deuxième partie où on nous demande de trouver la tension, désolé, qui s'applique sur Tarzan. Donc voilà. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser en commentaire, j'y réponds avec plaisir et puis on se retrouve pour une prochaine vidéo.

Saut de Tarzan

RELATED

Recommended videos

Moment cinétique d'un point de masse M

Couple de deux forces opposées

Mouvement d'un pendule pesant