Home

MPSI/PCSI

Physique-Chimie

Physique

Moment cinétique

Dans cette vidéo, Théobaldo Studio étudie le mouvement d'un tableau accroché au mur qui effectue de petites oscillations autour de sa position d'équilibre. Le tableau est rectangulaire, de masse m, et oscille autour de l'axe delta perpendiculaire au mur. Le moment d'inertie du tableau par rapport à cet axe est donné par J = m(A^2 + 4B^2/12). La position du tableau est repérée par l'angle theta entre OG et la verticale passant par O. 
Dans la première question, il faut trouver l'équation du mouvement. En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à delta, on trouve que J * theta point point + MgB/2 sin(theta) = 0. 
En simplifiant l'expression dans le cadre des petites oscillations, où sin(theta) peut être approximé à theta, on obtient l'équation d'un oscillateur harmonique : theta point point + (MgB/2J) * theta = 0. La période de ces oscillations est donnée par T = 2π * racine(J/(MgB/2)). 
Dans la troisième question, si la surface du tableau reste constante et que A est augmenté, la période augmentera si A > 2√3B et diminuera sinon. Dans la quatrième question, si B est augmenté, la période augmentera si B > √3/2A. 
Cet exercice nécessite des calculs et des études de fonctions.

Bonjour à tous, c'est Théobaldo Studio, et dans cette vidéo, on se retrouve pour étudier le mouvement d'un tableau qui est accroché au mur et qui va faire des petites oscillations autour de sa position d'équilibre. Alors, on considère un tableau qui est de masse m et qui va être rectangulaire, donc on a B ici et A comme ceci, et puis on nous dit que le tableau va osciller autour de l'axe delta qui est perpendiculaire au mur et qui passe par O, O étant le point d'attache du tableau au mur. On nous donne le moment d'inertie du tableau par rapport à cet axe delta, qui est J qui est égale à m facteur de A carré plus 4B carré sur 12, et on note G, le centre de gravité, et on repère la position du tableau par l'angle theta, angle theta qui est l'angle entre OG et la verticale passant par O. Dans une première question, on va nous demander de trouver l'équation du mouvement, puis on va se placer dans le cadre des petites oscillations pour simplifier l'expression, et on veut trouver l'expression de la période de ces petites oscillations. Et puis, en supposant que la surface du tableau ne varie pas, on va nous demander comment varie la période si on augmente la valeur de A pour la question 3 et si on augmente la valeur de B pour la question 4. Alors on est parti pour la question 1. On a notre système qui est un tableau rectangulaire de masse m, et on se place dans un référentiel terrestre supposé galiléen. Quelles sont alors les actions mécaniques qui s'appliquent à notre système ? On a le poids du tableau et la réaction du point de suspension. Puis si on regarde sur ce schéma ici, on a notre poids, ça va être –mgUy puisque Y est situé vers le haut, et ma tension qui est –tUr, donc comme ceci. On va appliquer le théorème du moment cinétique par rapport à delta, delta étant la droite qui rentre dans le mur. Ce théorème nous dit que la dérivée du moment cinétique par rapport au temps est égale à la somme des moments d'effort s'appliquant à notre système. Ça, c'est votre cours. Et puis, nous, on sait que notre moment cinétique, c'est notre moment d'inertie fois theta point. Le moment d'inertie, il est donné dans l'annoncé, et donc la dérivée de mon moment cinétique par rapport au temps, c'est J theta point, puisque J est une constante. Donc, il faut trouver ici quels sont les moments qui s'appliquent à notre système. Et bien, la somme des moments de mes forces, ça va être uniquement le moment du poids puisque la tension, ici, la réaction du point de suspension, c'est une force qui est centrale, qui est dirigée vers le point haut, le point d'attache, et donc, son moment est nul par rapport à la droite delta. Donc, il y a un moment nul, et donc, on a finalement juste le moment du poids qui vaut moins Mg B sur 2 sinus theta. Alors, pourquoi moins Mg B sur 2 sinus theta ? Et bien, parce que Mg ici, c'est la norme du poids, Mg. B sur 2 sinus theta, c'est son bras de levier, donc B sur 2, c'est comme ceci, et nous, le bras de levier, c'est toute cette partie-là qu'on cherche, et donc, ça va être B sur 2 sinus theta. Et puis, on a un moins devant, puisque le poids contribue à faire tourner le tableau dans le sens indirect, le poids va permettre au tableau de revenir vers sa position verticale, donc vers les moins theta. Donc, d'après le théorème du moment cinétique, J theta point point est égal à moins Mg B sur 2 sinus theta. Et donc, l'équation du mouvement, c'est theta point point plus Mg B sur 2 J sinus theta égale 0. Donc, on a mon équation du mouvement, et donc, la deuxième question, c'est de se placer dans l'hypothèse des petites oscillations et de trouver la période des oscillations, en fonction de A, B et G. Alors, le cas des petites oscillations, vous vous en souvenez, c'est sinus theta qui peut être approximé à l'angle theta quand theta est suffisamment petit, et donc, on se place dans ce cas-là. Donc, l'équation du mouvement, on peut la simplifier, et elle devient theta point point plus Mg B sur 2 J theta égale 0. Là, on reconnaît l'équation d'un oscillateur harmonique, et la forme canonique d'un oscillateur harmonique, eh bien, c'est celle-ci, où on a oméga 0 qui est la pulsation de mon système. Donc, on peut assimiler oméga 0 au terme devant theta dans mon équation. Donc, oméga 0 vaut racine de Mg B sur 2 J, puisque ici, c'est oméga 0 carré, attention. Donc, la période des oscillations, je dis attention ici, parce que très souvent, il y a beaucoup d'erreurs là-dessus, on oublie la racine, et puis après, c'est tout faux. Donc, faites vraiment attention. Donc, la période de mes oscillations, eh bien, c'est 2 pi sur oméga 0, c'est 2 pi J, racine de 2 J sur Mg B. Et donc ça, on peut l'exprimer en fonction de A, B et de G, en remplaçant l'expression de J qui est donnée dans l'énoncé, qui est M facteur de A carré plus 4 B carré divisé par 2. Et donc, en simplifiant tout ça, on obtient la période de mes oscillations, qui est cette expression-ci. On peut passer à la troisième question. On nous dit qu'on suppose la surface du tableau constante, et on nous demande comment va varier la période si on augmente A. Est-ce que la période va augmenter ou est-ce que la période va diminuer ? Eh bien, pour répondre à cette question, il faut obtenir une fonction T de A est égale à F de A, et il faut déterminer si cette fonction F est croissante ou décroissante. Eh bien, c'est ce qu'on va faire ensemble. Tout d'abord, on suppose la surface constante, donc ça veut dire qu'on peut écrire S est égale à A fois B, et ça, c'est une constante, ça ne bouge pas. Donc, si on réécrit ma période T, tac, en remplaçant B par S sur A. Donc, on a cette expression-ci, j'ai uniquement remplacé à chaque fois qu'il y avait un B par S sur A, vu que B est égale à S sur A. On multiplie par A carré dans la racine en haut et en bas, et on obtient 2pi racine de A puissance 4 plus 4S carré divisé par 6GS A. Et donc, on a bien une fonction T qui est égale à racine de F de A divisé par 6GS, avec F de A qui a cette expression-ci. Donc, T de A et F de A ont les mêmes variations. Il va suffire d'étudier ma fonction F de A pour trouver les variations de T de A. Donc, c'est ce qu'on fait ensemble, on étudie F de A. Ma dérivée ressemble à quelque chose comme ça, 3A puissance 4, donc 4S carré sur A carré. Et donc, quand est-ce que ma fonction va être croissante ? Eh bien, quand F prime de A sera supérieur ou égal à 0. Et donc, ça, c'est quand, je vous passe les détails de calcul, c'est pas très intéressant, c'est quand A carré est supérieur ou égal à 4 tiers de B carré. Et donc, finalement, F de A et T de A sont croissantes si A est supérieur ou égal à 2 sur racine de 3 fois B. Ça veut dire que si A est supérieur à cette valeur-ci, alors la période augmente avec A. Et sinon, elle diminue. Une fois qu'on a répondu à cette question, on va faire la même chose pour la valeur de B. Qu'est-ce qui se passe si on augmente la valeur de B ? Est-ce que la période va augmenter ou est-ce que la période va diminuer ? Eh bien, on fait exactement la même chose, mais cette fois-ci, on cherche une fonction T de B égale F de B. Donc, je remplace A par S sur B. Donc, j'ai cette expression-ci. Je multiplie en haut et en bas par B carré. On obtient ceci. Et donc, on a T qui est 2pi racine de H de B sur 6G. Avec H de B qui vaut S carré plus 4B4 sur B cube. On étudie les variations de ma fonction H de B, donc on cherche quand est-ce que ma dérivée va être supérieure ou égale à 0. Et ma dérivée est supérieure ou égale à 0 quand B carré est supérieure ou égale à 3 quart de A carré. Et donc, finalement, ma période augmente si B est supérieure ou égale à racine de 3 sur 2 A. On a fini cet exercice. Vous voyez que c'est quand même beaucoup de calculs, beaucoup d'études de fonctions. Mais c'est assez récurrent sur des exercices de mécanique comme ça, donc il faut s'y habituer. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à me les poser en commentaire, j'y réponds avec plaisir. Et puis, on se retrouve pour une prochaine vidéo.

Tableau suspendu

RELATED

Recommended videos

Moment cinétique d'un point de masse M

Couple de deux forces opposées

Mouvement d'un pendule pesant