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Physique

Fondements de la thermodynamique

Dans cette vidéo, nous abordons la notion de libre parcours moyen, qui concerne la réalité microscopique des molécules. Le libre parcours moyen désigne la distance moyenne qu'une molécule parcourt avant de rencontrer une autre molécule. Pour le dioxygène à pression atmosphérique et à température ambiante, le libre parcours moyen est d'environ 100 nanomètres.

Pour comprendre le libre parcours moyen, nous considérons les molécules comme des sphères indéformables de diamètre d. Une molécule en mouvement entre en collision avec une autre molécule si le centre de la molécule en mouvement se situe à une distance inférieure à d de la trajectoire de la molécule fixe. On peut délimiter un cylindre de base πd² de hauteur L, où L représente le libre parcours moyen.

Nous pouvons définir le libre parcours moyen, L, comme la distance moyenne parcourue par une molécule avant de rencontrer une autre molécule dans ce cylindre. La hauteur limite à laquelle une molécule peut être placée sans entrer en collision est d.

Le libre parcours moyen, L, peut être exprimé en fonction du diamètre des molécules, d, et du nombre de particules par unité de volume, N. En utilisant le nombre d'Avogadro, Na, la constante de Boltzmann, KB, la pression atmosphérique P0 et la température T, nous pouvons obtenir une formule : L = 1/(Na * π * d² * N*).

Pour évaluer la taille des molécules dans le modèle du gaz parfait, nous utilisons la formule précédente et l'équation d'état du gaz parfait (P0 = N * KB * T / V) pour exprimer N en fonction de P0, T et d'autres constantes. Enfin, nous évaluons la taille D des molécules dans le modèle du gaz parfait en utilisant les valeurs numériques correspondantes et obtenons D = 0,36 nanomètre.

En commentant la valeur de D obtenue (0,36 nanomètre) par rapport à la taille d'une molécule de dioxygène (0,29 nanomètre), nous concluons que le modèle du gaz parfait et du libre parcours moyen peuvent décrire assez précisément les molécules de dioxygène. Cependant, il faudrait étudier d'autres molécules pour savoir si cette loi se généralise.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va aborder une notion très intéressante lorsque l'on se penche plus précisément sur la réalité microscopique des différentes molécules, et bien c'est tout simplement le libre parcours moyen. Et si on se penche sur le libre parcours moyen, et bien du dioxygène, et l'énoncé de l'exercice commence de la manière suivante. À pression atmosphérique P0 qui est égale à 1 bar et à température ambiante T qui est égale à 20 degrés, le libre parcours moyen des molécules de l'air est à peu près égal à L qui est égale à 100 nanomètres. Bon, à quoi ça fait référence ce libre parcours moyen ? Alors on va tenter de le définir de manière assez visuelle. Afin de définir un cylindre de choc, on considère les molécules comme des sphères indéformables de diamètre d. Donc elles ont toutes le diamètre d et dont la position est repérée par leur centre, bien sûr. Alors, une molécule en mouvement entre en collision avec une autre molécule fixe située à une distance L si le centre de la molécule se situe à une distance d'qui est strictement inférieure à d de la trajectoire de la molécule en mouvement. Un cylindre de base πd² de hauteur L est ainsi délimité et si le centre d'une molécule se trouve dans ce cylindre, elle rentrera en collision. Alors, le schéma ici est vraiment à comprendre pour essayer de comprendre à quoi fait référence ce libre parcours moyen. En fait, le libre parcours moyen peut le définir comme étant la distance moyenne que va parcourir une molécule d'un fluide avant de rencontrer, de rentrer en collision avec une autre molécule de ce fluide. Voilà. Alors, si l'on considère qu'elle a un diamètre d, en fait, la manière de construire ce cylindre, c'est d'essayer de raisonner par soi-même. On dit qu'elle se déplace dans cette direction-là. Eh bien, si l'on considère les autres molécules comme étant fixes, eh bien, où est-ce qu'on peut la placer pour qu'elle ne rentre pas en collision avec cette molécule juste ici ? Eh bien, il ne faut pas la placer au niveau ici de d sur 2, puisque si je la dessine ici, eh bien, elle rentrera forcément en contact avec la partie supérieure de la molécule. En fait, la limite, c'est tout simplement lorsqu'elle se situe à une hauteur d. Tout simplement, puisqu'à ce moment-là, on aura d'un côté d sur 2 ici, et de l'autre côté d sur 2. Et donc, parfait, ça ne rentrera pile-poil pas en collision. Donc voilà, ici, on a déterminé la hauteur limite à laquelle on peut placer une molécule pour qu'elle ne soit pas rentrée en collision. Et c'est ce qu'on disait dans l'énoncé. En fait, si on place une molécule à une distance d prime qui est strictement inférieure à d, eh bien, elle rentrera en collision. Et on définit la hauteur du cylindre. Bien sûr, c'est en trois dimensions. Donc, c'est toute une surface qui est définie. Donc, de surface pi d carré. N'importe quel point de cette surface est défini. Et puis, pour considérer la hauteur de ce cylindre, eh bien, c'est tout simplement le libre parcours moyen, c'est-à-dire la distance avant qu'elle rencontre une molécule qui est présente, justement, dans ce cylindre infini. Donc, à partir de là, maintenant qu'on a un peu touché du doigt cette grandeur particulière du libre parcours moyen, eh bien, on va essayer de la travailler pour voir ce qu'elle a dans l'entre. Il faut exprimer le libre parcours moyen L d'une molécule en fonction de sa taille d et du nombre de particules par unité de volume. Bon, on part de très peu. Alors, comment est-ce qu'on pourrait exprimer ces variables d'une autre manière ? Eh bien, en soi, le libre parcours moyen, on vient à peine de le définir, ça va être compliqué. D, pareil, c'est une taille, donc on peut difficilement faire des liens avec d'autres grandeurs. Donc, on va plutôt partir du nombre de particules par unité de volume. Est-ce qu'on peut traduire ça avec les autres grandeurs ? Eh bien, N étoiles, en fait, ça correspond à quoi ? Donc, c'est tout d'abord le nombre de particules par unité de volume. Donc, c'est tout simplement le nombre de particules. Donc, au numérateur, on a le nombre de particules par mol, par exemple. Donc, ici, c'est 1 sur Na. Et divisé par le volume, ici considéré, eh bien, le volume du cylindre de collision, c'est tout simplement ce que l'on a déterminé précédemment. C'est la surface, ici, du disque, fois le libre parcours moyen. Donc, est-ce qu'on a bien le nombre de particules par unité de volume ? Eh bien, on sait qu'on trouve une molécule dans ce cylindre, juste ici défini. Donc, une molécule sur toute la mol. Ça nous donne bien l'ensemble des particules qui sont présentes dans le volume considéré. Donc, le libre parcours moyen, c'est tout simplement 1 divisé par Na, le nombre d'avogadro, fois Pi, fois D carré, fois N étoile. Maintenant, si on passe à la deuxième question, il faut évaluer la taille D des molécules dans le modèle du gaz parfait, sachant qu'on nous donne la constante de Boltzmann, KB. Bon, eh bien, pour évaluer D, on a simplement, ici, à se servir de la formule qu'on a déterminée, ici. Dans le cadre du gaz parfait, on a le nombre de particules par unité de volume, c'est tout simplement N divisé par V. Et à l'aide de l'équation d'état D gaz parfait, eh bien, on peut exprimer cette relation comme étant P0 divisé par RT. Alors, ça c'était tout simplement pour faire intervenir le KB, vu que dans la formule que l'on a obtenue juste ici, eh bien, on n'a pas de valeur pour N étoile. Donc, si on remplace N étoile par ce qu'on vient de poser, eh bien, on obtient NA divisé par R. Je vais y arriver, R divisé par NA. C est égal, en fait, à la constante de Boltzmann, c'est une des relations à connaître, bien sûr. C'est donc KB fois T divisé par, il reste en bas, PiL fois P0. Et là, c'est bon, on a tout ce qu'il faut pour déterminer ce qu'on nous demande. On a à prendre, bien sûr, la racine carrée, et à passer à l'application numérique. D, c'est égal à 0,36 nanomètre. Donc, c'était une application simple, dans le cadre du gaz parfait. Et maintenant, il faut commenter la valeur obtenue précédemment, sachant que la molécule de dioxygène a une taille d'à peu près D, qui est égale à 0,29 nanomètre. Qu'est-ce qu'on peut dire avec ça ? Eh bien, on a obtenu 0,36, donc dans le modèle du gaz parfait, et du libre parcours moyen. En fait, ces deux modèles peuvent assez bien décrire la molécule de dioxygène, vu qu'en fait, ils renvoient à des mesures qui sont sensiblement similaires. Donc, ce type de description peut être acceptée, en tout cas pour la molécule de dioxygène. Il faudrait d'autres données à élargir le spectre des différentes molécules pour savoir si on peut généraliser cette loi. En tout cas, ça marche pour le dioxygène. Voilà, c'était une vidéo surtout pour sensibiliser et introduire à cette notion de libre parcours moyen. N'hésitez pas à reprendre. Ce n'est pas simple, au début, de comprendre cette notion. Donc, reprenez bien le schéma. Comprendre pourquoi est-ce qu'on définit cette notion, c'est plus facile, en fait, pour appréhender. Et il y a quand même un sens très concret derrière cette notion de libre parcours moyen qui est assez intuitive. Donc, prenez bien ça. Prenez le temps de faire ce petit schéma. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo. Et puis, à bientôt !

Libre parcourt moyen

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