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Physique-Chimie

Physique

Approche énergétique

Aujourd'hui, nous allons aborder l'énergie potentielle de pesanteur dans différents systèmes de coordonnées. Dans le système cartésien, l'axe OZ est dirigé vers le haut. L'expression de l'énergie potentielle associée est donnée par EP = MgZ, où Mg représente le poids. Il est important de noter que l'expression varie selon que l'axe Z soit orienté vers le haut ou vers le bas. En coordonnées cylindriques, le poids s'exprime différemment et est donné par –Mg cosθ er – Mg sinθ eθ. L'énergie potentielle de pesanteur en coordonnées cylindriques est EP = MgR cos θ, où R représente le rayon et θ l'angle. Il est essentiel de noter que l'expression de l'énergie potentielle ne dépend que de θ en coordonnées cylindriques, et qu'elle est équivalente à celle en coordonnées cartésiennes. Les systèmes de coordonnées sont un choix arbitraire et ne doivent pas introduire de différences dans les expressions physiques. Dans notre cas, l'énergie potentielle peut être retrouvée en passant des coordonnées XYZ aux coordonnées RθZ.

Bonjour à tous, c'est Leïla. Aujourd'hui, on va faire un exercice sur l'énergie potentielle de pesanteur dans différents systèmes de coordonnées. Donc voilà l'exercice qu'on nous donne ici. On vous dit qu'on considère le poids en coordonnées cartésiennes avec l'axe OZ qui est dirigé vers le haut. On vous demande tout d'abord de retrouver l'expression de l'énergie potentielle qui est associée. Pour ça, il faut utiliser la formule du cours qui fait le lien entre une force conservative et son énergie potentielle. Donc la formule c'est P est égal à moins gradient de l'énergie potentielle. Donc si on a en coordonnées cartésiennes, le poids c'est moins EZ. Du coup ça c'est le gradient de l'énergie potentielle. Et si je projette sur l'axe des Z, ça me donne moins Mg est égal à moins DEP sur des Z. Il faut faire attention ici à bien mettre des dérivées rondes. Pourquoi ? Parce que c'est des dérivées partielles. L'énergie potentielle a priori elle dépend de X, de Y, de Z. Et donc quand on ne sait pas, quand une fonction dépend de plusieurs variables en physique, on met des dérivées rondes comme ça. Et donc finalement si j'intègre tout ça, ça me donne que EP c'est plus MgZ plus une constante. Donc vous savez que l'énergie potentielle elle est définie à une constante près. Donc on peut prendre la constante qu'on veut. En général on prend quelque chose qui simplifie le problème et donc on prend souvent par exemple que en Z égale 0 au niveau du sol par exemple, l'énergie potentielle est nulle. Tout ça, ça me donne que l'énergie potentielle de pesanteur c'est MgZ. Alors vous voyez ici en fait que l'expression ça va pas être la même si l'axe des Z est vers le haut ou s'il est vers le bas. Donc vous devez vous souvenir que l'énergie potentielle de pesanteur c'est plus ou moins MgZ. Mais il faut pas l'apprendre par coeur, il faut bien faire attention à chaque fois est-ce que l'axe va vers le haut ou vers le bas. Ou sinon vous vous dites juste si je monte, est-ce que mon énergie potentielle de pesanteur augmente ou pas par rapport à Z. Il faut faire attention à ça. Donc maintenant on vous demande la même chose en coordonnées cylindriques. Donc cette fois-ci l'expression du poids est différente. Je vous ai remis ici les coordonnées cylindriques, c'est le poids qui est comme ça, le vecteur eθ, le vecteur er et donc qui fait un angle θ comme ça. Donc l'expression du poids, je vois qu'ici je vais avoir un cos et je vais aller dans la direction de –er, donc ça va me faire –Mg cosθ er et dans l'autre direction ça va me faire –Mg sinθ selon eθ. Donc ça c'est mon expression. Et de la même manière Gp est égal à –grad2ep. Donc si je projette, je peux projeter ici. Donc j'utilise le fait que le gradient c'est dérom F sur dérom RER plus 1 sur R, dérom F sur dérom θ eθ plus dérom F sur dZ eZ en coordonnées cylindriques. Je pense qu'il est à savoir, je sais plus je vous avoue, s'il faut l'apprendre par cœur ou pas. De toute manière, vous pouvez le retrouver dans un bon formulaire. Et donc en fait, je vais avoir deux équations si je projette selon –er et si je projette selon –eθ, parce que vous avez deux composantes ici. Donc là, bon, je vous l'ai fait un peu bizarrement, je vous l'avoue, j'ai mis la première équation là, la deuxième équation là, mais elles sont liées évidemment, c'est un système. Et donc la première chose qu'on fait, c'est qu'on intègre d'abord cette équation, donc on intègre par rapport à R, ça ne donne que EP, c'est Mg cos θ R, plus une constante. Et là, il faut faire attention parce que la constante, par rapport à tout à l'heure, elle peut dépendre de θ et de Z, parce qu'on ne nous dit rien sur θ et de Z, on a des dérivés partiels et donc c'est toute l'idée de si j'intègre, il va me rester une constante qui dépend du reste. Donc si je fais comme ça ensuite, ça me donne que 1 sur R, Mg R sin θ, moins 1 sur R, d sur dθ, cette constante est égale à Mg sin θ. Vous voyez que là, ça se simplifie ici. Et donc qu'est-ce que vous trouvez ? Vous trouvez qu'en fait cette constante là, ce K, je dis que c'est une constante mais en fait c'est une fonction qui ne dépend pas de R, attention, donc ce K de θZ, je vois qu'il est nul, donc en fait je vois que cette constante d'intégration, cette fonction d'intégration, elle ne dépend pas de θ. Donc il va me rester plus simplement que dEP sur dZ est nul, ça je le savais parce qu'en projetant sur l'axe Z ici, j'ai rien pour le poids. Et donc qu'est-ce qu'il me reste ? Il me reste que l'énergie potentielle, c'est Mg R cos θ, plus une constante qui cette fois-ci est une vraie constante, ce n'est pas une fonction d'intégration. Et donc même chose, là il faut trouver la constante, c'est défini une constante, on s'en fiche un peu de ce que vous prenez, il faut juste prendre une constante qui va vous simplifier votre problème. Donc là par exemple on peut dire que EP égale 0 quand θ égale π sur 2, et donc votre constante est nul. Donc là c'est l'expression en cylindrique, donc elle ne dépend que de θ, votre énergie potentielle, et en cartésien c'est MgZ. Donc en général quand vous avez la même expression dans deux systèmes de coordonnées différents, il faut absolument que vous puissiez la retrouver, parce que le système de coordonnées c'est quelque chose que nous on a fixé, ce n'est pas du tout en lien avec la physique, on a juste dit ce système là il sera mieux pour moi pour travailler. Donc a priori il ne doit pas y avoir de différence si je passe de XYZ à RθZ. Donc là je vois que si je prends Z est égal à R cos θ, donc la hauteur ici je retrouve bien la même expression qu'en cartésien, donc c'est rassurant. Voilà pour ça, j'espère que ça vous aura été utile de faire cet exercice, on se retrouve bientôt pour une prochaine vidéo sur cette histoire d'énergie potentielle. A bientôt !

Energie potentielle de pesanteur

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