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Physique-Chimie

Physique

Approche énergétique

Dans cette vidéo, Leïla présente un exercice classique sur le mouvement d'une bille sur un cercle. L'objectif est de déterminer à quel moment la bille se détache du support. Tout d'abord, Leïla établit l'équation du mouvement en faisant un bilan des forces. Elle utilise ensuite l'énergie potentielle et le travail pour obtenir une expression en fonction de θ. Puis, elle étudie la réaction du support, qui est normale et s'annule lorsque la bille se détache. Elle montre que dans ce cas, l'énergie mécanique est constante. En utilisant la cinématique, Leïla exprime la vitesse en fonction de θ et obtient l'équation du mouvement. Elle utilise ensuite le principe fondamental de la dynamique pour trouver l'expression de la norme de la réaction du support. En simplifiant cette expression, elle détermine que la réaction est positive lorsque v0²/r est supérieur à -5g. Enfin, elle trouve l'angle θ auquel la bille se détache en isolant cosθ. Elle conclut en invitant les spectateurs à refaire l'exercice pour bien comprendre les théorèmes énergétiques.

Bonjour à tous, c'est Leïla. Aujourd'hui, on va faire un exercice qui porte sur le mouvement d'une bille sur un cercle. Donc ça, c'est un exercice qui est plutôt classique. Il y a plein de manières de le présenter, mais l'histoire, c'est toujours la même. Vous avez un cercle ici, vous avez une bille qui va coulisser sur le cercle. Et donc, quelque chose qui va être important pour vous, c'est de regarder à quel moment est-ce que cette bille tombe du support. C'est vraiment des exercices qu'on appelle des exercices de décollement, où on va chercher une condition pour qu'un point ou un objet décolle du support. Et en fait, vous retrouvez plein de catégories d'exercices comme ça, et c'est toujours la même méthode. Donc soyez attentifs, on va voir ça ensemble. On vous dit tout d'abord qu'on la lance avec une vitesse horizontale V0 au point le plus bas du cercle, ici. Et donc là, vous avez une espèce de rail circulaire de rayon R. On vous demande d'établir l'équation du mouvement de M. C'est évidemment toujours la première chose dans un exercice de mécanique. Il faut qu'à un moment, vous trouviez l'équation du mouvement pour ensuite pouvoir utiliser les grandeurs importantes. Donc on fait un bilan des forces. Le poids M, il est soumis à son poids. Donc là, on vous demande de retrouver l'équation du mouvement de manière énergétique. Donc il va falloir s'intéresser aux énergies potentielles et au travail. Donc le poids, c'est Mgz. Comme on l'a vu dans une précédente vidéo, vous vous souvenez, ça va être Mgz parce que Z va vers le haut. Donc quand Z augmente, l'énergie potentielle augmente, c'est logique. Mais il faut faire attention, parfois Z va vers le bas. Et dans ces cas-là, l'expression n'est plus la même. Donc là, je peux remplacer. Donc ici, j'ai Z qui est égal à R facteur de 1 moins cosθ. Et donc, je retrouve l'énergie potentielle de plus en plus en fonction de θ, qui est Mgr facteur de 1 moins cosθ. Je vous conseille de faire comme ça. Parce qu'en général, vous connaissez l'énergie potentielle en coordonnées cartésiennes et pas spécialement en cylindriques. Donc vous trouvez l'expression en cartésienne et vous injectez ensuite en fonction de la règle de votre problème. Ensuite, vous avez la réaction du support. Très important, parce qu'on a un problème de décollement. Donc ce qui va nous intéresser, c'est à quel moment est-ce que la réaction du support va s'annuler. Ici, elle est uniquement normale, la réaction du support. Donc j'ai juste pris N. Pourquoi ? Parce qu'on vous dit qu'il n'y a pas de frottement. Les frottements, c'est la réaction tangentielle au support. La réaction normale, elle sert à tenir l'objet, à faire en sorte qu'il ne s'effondre, qu'il ne traverse pas le support. Donc c'est pour ça qu'elle est là, cette réaction-là. Je sais que N est perpendiculaire au mouvement. Donc a priori, cette force ne travaille pas. Et donc, qu'est-ce que je vois ici ? Je vois qu'il n'y a pas de frottement. Donc l'évolution, elle est dite conservative. C'est-à-dire qu'on n'a que des forces conservatives. Et on sait, en appliquant le théorème de l'énergie mécanique, que dans ces cas-là, l'énergie mécanique est constante. Donc ça, c'est super pour vous. Et dans ce cas de figure-là, quand vous avez une évolution conservative, les théorèmes énergétiques sont très utiles parce qu'ils vont être très simples à manipuler. Donc l'énergie mécanique, c'est l'énergie potentielle de pesanteur plus l'énergie cinétique, donc ça va être mgr, 1 manco seta, qu'on a vu tout à l'heure, plus l'énergie cinétique, 1,5 de mv². Ensuite, on va faire un peu de cinématique. Il faut voir, qu'est-ce que ça va être, cette vitesse, justement. Ici, vous avez un mouvement qui est circulaire. La vitesse pour un point circulaire, c'est rθ.uθ. Et donc l'énergie mécanique, finalement, je l'ai mise, vous voyez, en fonction uniquement de θ. Ça me fait mgr, 1 manco seta, plus 1,5 de mgr²θ.². Elle est constante. Donc vous faites attention, elle est constante par rapport au temps. Il ne faut surtout pas dire qu'elle est constante par rapport à θ. C'est une erreur que vous faites parfois dans les problèmes énergétiques. Il faut bien identifier quelle est la variable de position. Ici, c'est θ, et quelle est la variable temporelle. Ici, c'est le temps. Comme je sais qu'elle est constante, je peux dériver l'énergie mécanique. Je sais que la dérivée par rapport au temps est nulle, puisque l'énergie mécanique est constante. Donc si je dérive, ça me fait mgrθ.sinθ, plus 1,5 de mr²θ.θ², qui est nulle. Et donc là, vous voyez qu'en fait, vous pouvez simplifier par θ. Et on trouve θ² plus g sur r sinθ égale à 0. C'est l'équation du plan de boule simple. Donc voilà, c'est une manière d'établir l'équation du mouvement. Sinon, vous pouvez faire avec le principe fondamental de la dynamique. Vous devez trouver la même chose. Mais parfois, on vous force à faire une méthode plutôt qu'une autre. Ici, comme on est dans le chapitre sur les théorèmes énergétiques, on essaye d'établir l'équation du mouvement de manière énergétique. Ensuite, on vous demande de montrer que la norme de la réaction du support a une certaine expression. Et donc, pour ça, il va falloir déterminer une norme. Vous voyez, vous avez l'équation du mouvement, mais la norme n'apparaît pas. Ici, la norme de haute force. Donc, une manière de faire, c'est d'appliquer le principe fondamental de la dynamique. On ne l'a pas encore appliqué, donc a priori, on va avoir des choses intéressantes dessus. Donc masse fois l'accélération, c'est le poids plus la réaction du support. Je trouve la vitesse, l'accélération en circulaire. Donc ça, je vous renvoie à votre cours de cinématique si vous ne savez pas comment dériver ça. Et donc, je projette ensuite sur chacun des axes er et eθ. Et j'ai ce système d'équations. Moins mRθ point carré est égal à moins n plus mg cosθ et mRθ seconde est égal à mg sinθ. Vous voyez qu'en fait, avec les théorèmes énergétiques et le principe fondamental de la dynamique, on a toutes ces équations-là. Donc, il y en a une que vous reconnaissez. Normalement, c'est celle sur uθ. Vous voyez qu'en fait, c'est celle qu'on vient d'établir tout à l'heure de manière énergétique. Ça, c'est l'équation du mouvement. Ensuite, vous avez celle-ci, cette équation-là. Ça, a priori, si vous isolez n, elle va vous dire quelle est la norme de la force. Donc, la norme de la force est mRθ point carré plus mg cosθ. Et nous, on avait l'expression de notre énergie mécanique ici, qu'on a déterminée avant. Et en fait, pourquoi elle peut être utile pour moi ? Parce que ce rθ point carré, vous voyez, il apparaît ici. Donc, je vais pouvoir la réinjecter ici. Donc, mRθ point carré, c'est 2 sur rem plus 2mg cosθ moins 1. Pourquoi tout ça ? On veut déterminer l'expression de ce truc-là. Et aussi, c'est assez pratique pour nous parce que l'énergie mécanique, elle est constante. Si l'énergie mécanique, elle est constante, ça veut dire que je peux prendre sa valeur à n'importe quel endroit qui m'arrange et remplacer em par cette valeur-là. Donc, notamment, il y a un endroit qui m'arrange bien. C'est en zéro. Lorsque je suis en bas du cercle, j'ai une énergie potentielle de pesanteur qui est nulle. Il me reste uniquement de l'énergie cinétique qui est 1 demi de mv0 carré. Et c'est encore mieux pour moi parce que vous voyez que là, on vous demande de mettre du v0 quelque part. Et donc, vous voyez, en remplaçant tout ça, j'obtiens que m, c'est m facteur de v0 carré sur r plus 3g facteur de cosθ moins 2. C'est l'expression qu'on vous demande. Donc là, vous avez vraiment fait le gros du travail. Vous voyez, on a fait l'équation du mouvement. Ensuite, on a fait le PFD. On avait deux équations. On avait une qui était l'équation du mouvement. On avait une autre équation qui, du coup, nous donnait une expression de n. Et en travaillant un peu sur cette expression, on est arrivé à celle-ci qui est simple. Alors, pourquoi on a travaillé cette expression ? Vous voyez, parce qu'en fait, nous, ce qu'on veut, a priori, c'est éliminer le θ point carré. Parce que si je veux déterminer ce que c'est θ point, il faut résoudre toute l'équation du mouvement. Et on n'a pas spécialement envie de le faire. Là, l'avantage de cette expression-ci, c'est qu'il n'y a que des paramètres qu'on connaît. Et a priori, il y a ce θ-là qui va nous dire pour quel angle est-ce que notre bille décolle. C'est ce qu'on va voir dans la troisième question. On nous demande précisément... On veut dire que la bille reste en contact avec le support à tout moment lorsque la vitesse initiale est supérieure à une vitesse v mine. Donc là, pour tous les problèmes comme ça de décollement, c'est toujours la même chose qu'on fait. On dit que le point m reste en contact avec le support si la norme de la réaction normale est positive. À partir du moment où elle s'annule, ça veut dire que mon point décolle, il n'est plus en contact. Parce qu'en fait, la force n'existe plus. Le contact se traduit par l'existence de cette force. Donc, qu'est-ce que ça veut dire ? Là, on a tout ce qu'il faut. On a déterminé l'expression de n, donc c'est ok. Ça veut dire que v0² sur r est supérieure à –3g facteur de 3cosθ-2. 3cosθ est plus grand que –1. Et donc, pour ça, ça veut dire que v² sur r est plus grand que –g facteur de 3cosθ-2 qui lui-même est plus grand que 5g. Donc pour ça, votre 5g... Ah oui, pas moins que 5g, parce que là, vous avez votre cosθ ici. Donc, –3, –2, ça va faire 5. C'est pour ça. Donc ça, c'est une borne maximale. Même si ma vitesse est suffisamment grande, ici, ma bille va faire tout le tour du cercle et ne va jamais décoller. C'est logique, on imagine bien que plus la vitesse est grande, plus il y a de l'énergie pour tourner à l'intérieur. Ensuite, maintenant, on imagine que cette condition n'est pas atteinte. Donc, on cherche un θ tel que cette réaction du support va s'annuler. Pour ça, il faudrait utiliser l'expression de tout à l'heure et regarder à quel moment c'est nul. Donc là, voilà, ça me fait 3cosθ est égal à –V0² sur RG plus 2. Donc, je peux isoler le cosθ ici. Et donc, finalement, je peux isoler θ. Je trouve qu'il faut que ce soit égal à arc cosinus de 2 tiers –V0² sur 3RG. Et donc là, on a déterminé, pour une vitesse initiale fixée, à quel angle est-ce que ma bille va décoller. Donc là, vous voyez bien que si je reprends l'expression de V0 qui était V0 limite, je trouve bien la même chose, que c'est pour cosθ égal à –1, ce qui est athénien. Voilà pour ça. J'espère que cette vidéo vous aura été utile pour réviser les théorèmes énergétiques. C'est vraiment un exercice super classique, donc je vous invite à le refaire, même plusieurs fois si vous n'avez pas bien compris, parce qu'après, vous aurez des petites variations autour de ça. Et on se retrouve bientôt pour une autre vidéo de théorèmes énergétiques.

Mouvement sur un cercle

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