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MPSI/PCSI

Physique-Chimie

Physique

Mécanique vibratoire

Dans ce cours, nous étudions un système composé de deux ressorts identiques placés côte à côte. Nous commençons par appliquer le principe fondamental de la dynamique pour trouver les forces exercées par les ressorts sur la masse. En dessinant les schémas représentant les ressorts comprimés ou étirés, nous pouvons déterminer les directions et les signes des forces. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, nous obtenons une équation de mouvement où la masse est soumise à une force élastique de la forme KL - 2X, où K est la constante du ressort, L est la longueur du ressort à vide et X est la position de la masse par rapport à l'équilibre. 

Ensuite, nous étudions le cas des oscillations amorties en ajoutant une force de frottement à l'équation de mouvement. Cette force est de la forme -βX', où β est le coefficient de frottement et X' est la vitesse de la masse. Nous obtenons ainsi une équation d'oscillateur amorti X'' + βX' + 2K/MX = 0. Nous rappelons les différentes formes de cette équation et discutons des régimes d'oscillation en fonction de la valeur de β. 

Enfin, nous traitons du retour rapide à la position d'équilibre. Nous trouvons que le régime critique pour un retour rapide correspond à β = 2√(2K/M), où la masse oscille avec une décrépitude minimale. Nous calculons également la période et le temps caractéristique de retour à l'équilibre dans ce régime.

Bonjour à tous, aujourd'hui on va faire un exercice sur un système avec deux ressorts. Dans les exercices précédents, on a vu d'une part le système masse ressort horizontal, le système masse ressort vertical, et cette fois-ci ici on va voir deux ressorts, donc ils sont l'un à côté de l'autre. Donc ici vous avez l'attache des ressorts, c'est les deux ressorts qui sont identiques, qui ont la même constante de rédeur K et la même longueur à vide L0, et simplement ici on va déplacer la masse au milieu qui va osciller entre les deux ressorts. Tout d'abord on demande d'appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse M selon l'axe OX. Le principe fondamental de la dynamique avec ce genre de système avec plusieurs ressorts, il faut faire vraiment très attention et bien regarder votre sens physique. Ce que je vous conseille pour les ressorts, c'est toujours la même chose, d'abord vous dessinez un ressort à l'équilibre, et ensuite vous dessinez un ressort qui est un peu déplacé. Je vous conseille de le déplacer dans le sens des X positif, sinon ça va vous embêter pour vérifier les signes, et à partir de là vous essayez un peu d'exagérer la situation. C'est ce que j'ai fait ici, là j'ai montré bien que le deuxième ressort est super comprimé, que le premier est étiré. Ici qu'est-ce que je vois ? Là j'ai un ressort qui est comprimé, donc par rapport à ma masse, il a tendance à l'emmener de ce côté là. Et là j'ai un ressort qui est étiré, donc j'ai noté FG le ressort de gauche, FD le ressort de droite, mais la force elle est dans la même direction. Et donc là mon ressort qui est étiré ici, il a tendance à ramener ma masse vers là. Donc en fait je me rends compte que les deux forces dans ces cas là sont dans le même sens. FG c'est moins KL2 moins L0 dans le sens de l'étirement du ressort. Faites bien attention à cette formule, c'est moins KL2 moins L0 dans le sens de l'étirement, et s'il est fixe ici, le sens de l'étirement c'est ça, et cette direction c'est moins X. Donc ça me fait finalement KL2 moins L0, EX. Je peux regarder si c'est cohérent, là je vois sur ce schéma là par exemple que mon L2, c'est la longueur du ressort, il est plus petit que L0, donc ce terme là est négatif, et je vais bien selon moins EX. C'est pour ça que c'est important de faire des schémas dans des exercices de mécanique pour vérifier les signes de vos forces. Celui de droite, lui il s'étire dans la direction des X croissant, donc ça me fait moins KL1 moins L0, EX. Même chose, je peux vérifier que là il est étiré, il a bien tendance à revenir selon moins EX. J'applique le principe fondamental de la dynamique et ça me donne MX seconde est égale à KL2 moins L1. Or moi ici je repère juste la position de la masse par rapport à X, et donc ça me fait L2 moins L1, où L2 c'est L moins X et L1 c'est simplement X. Et donc finalement ça me donne MX seconde est égale à KL moins 2X. On regarde la position d'équilibre pour faire le changement de variable que vous connaissez à connaître. Donc à l'équilibre X seconde est nul, donc X équilibre c'est KL sur 2. Je fais le changement de variable, KL c'est X moins XEC et c'est aussi X moins L sur 2. Et donc finalement là je vois que j'avais mis l'équation MX seconde plus K2X moins L est égale à 0, et je vois apparaître en fait ce XEC, et donc ça me donne MX seconde plus 2X moins XEC est égale à 0. Finalement si je pose KL est égale à X moins XEC, ça me donne X seconde plus 2K sur MX est égale à 0. J'ai une pulsation propre qui est racine de 2 fois plus grande que dans le cadre d'un oscillateur harmonique horizontal classique. Donc la période change, la période c'est 2 pi sur omega 0 et c'est 2 pi racine de M sur 2K. Vous voyez on a vu le ressort vertical, le ressort horizontal, ils ont une pulsation propre qui est racine de K sur M. Ici la pulsation propre elle change, ça va être racine de 2K sur M. Maintenant question 4, on nous demande la même chose mais avec des frottements. Donc si on ajoute des frottements, on ajoute une force de la force moins bêta MV, donc moins bêta MX point EX. Ça modifie l'équation, donc X seconde plus 2K sur MX est égale à moins bêta X point, et donc finalement si je mets sous la forme canonique, X seconde plus bêta X point plus 2K sur MX est égale à 0. Là je vous fais un petit rappel vite fait sur les équations d'oscillateurs amortis. Donc une des formes sur lesquelles on peut le mettre, mais c'est pas la seule, c'est X seconde plus oméga 0 sur Q, X point plus oméga 0 carré X est égale à 0. C'est la forme que je préfère, je trouve qu'elle est plus simple à manipuler personnellement, mais chaque forme a ses avantages. Les formes classiques c'est avec le Xi ou avec le lambda. Si Q est plus petit que 1,5 j'ai un régime amorti, Q est égal à 1,5 régime critique et Q est supérieur à 1,5 régime pseudo-périodique. C'est uniquement dans le régime pseudo-périodique qu'on voit des oscillations. Donc allons-y ici, pour voir des oscillations il faut que Q soit supérieur à 1,5 et ici oméga 0 sur Q c'est bêta et donc Q c'est racine de 2K sur M fois 1 sur bêta. Donc pour avoir des oscillations il faut que bêta soit plus petit que 2 racine de 2K sur M. C'est logique, vous voyez que là il faut regarder le sens de l'inégalité, on voit que là il faut que bêta soit assez petit, c'est dire que j'ai un coefficient de frottement relativement faible et dans ces cas là je vais avoir des oscillations. Si bêta devient trop grand, dans ces cas là je vais passer dans le régime critique puis le régime amorti. Il faut regarder toujours bien le sens de vos inégalités pour voir si avec la physique c'est logique. Enfin qu'est-ce qu'on nous demande ? Retour rapide à la position d'équilibre, le retour le plus rapide à la position d'équilibre, c'est le régime critique pour Q égale 1,5 et donc c'est pour bêta égale à 2 racine de 2K sur M, donc ça c'est le bêta qu'on a déterminé, c'est égal à 2 oméga 0. L'équation caractéristique c'est R2 plus oméga 0 sur Q, R plus oméga 0 carré égale à 0. Si Q est égal à 1,5, en fait delta égale à 0, donc on a une racine double. Qu'est-ce que c'est la racine double ? Ça va être R0 est égal à moins oméga 0 sur 2Q et ça c'est aussi égal à moins bêta sur 2 et c'est aussi égal à moins oméga 0. Donc finalement j'ai x de t, donc là ça c'est des maths encore, c'est a plus bt e moins R0t et donc finalement la forme elle va être comme ça, x de t est égal à a plus bt e moins oméga 0t, c'est le régime critique et donc après on peut déterminer avec les conditions initiales, donc le temps caractéristique du retour à l'équilibre, ça va être 2pi sur oméga 0, en fait c'est le même que la période. J'espère que ça vous aura été utile, on se retrouve bientôt pour d'autres vidéos d'oscillateur harmonique.

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