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Limites de Suites

Ce cours aborde les méthodes pour une fonction rationnelle, qui est un polynôme divisé par un autre polynôme. Pour résoudre la fonction, il faut factoriser par le terme de plus haut degré pour trouver quel terme l'emporte. Il y a trois cas de figure : lorsque le degré de P est strictement supérieur à celui de Q, lorsque le degré de Q est strictement supérieur à celui de P, ou lorsque les deux sont de la même force. Dans ce dernier cas, la limite tend vers le rapport des coefficients dominants de P et Q. Les n se simplifient en partie et l'on peut trouver la solution optimale pour la fonction.

On va regarder maintenant les méthodes pour une fonction rationnelle, c'est-à-dire un polynôme divisé par un autre polynôme. C'est exactement la même technique que pour le polynôme lui-même, on va factoriser par le terme de plus haut degré. Dans l'exemple, la suite qu'on va étudier c'est la suite Vn égale 4n² sur n plus 1. C'est bien un polynôme divisé par un autre polynôme, ce qu'on appelle une fonction rationnelle. J'identifie le terme de plus haut degré, ici c'est degré 2, on factorise par n². En bas c'est degré 1, je factorise par n. Les n se simplifient en partie, n² sur n il reste n. J'ai 4n au numérateur divisé par 1 plus 1 sur n qui tend vers 1. Je lève mon indétermination et je vois que par quotient ça tend vers plus infini. Conclusion, Vn tend vers plus infini. Maintenant si on regarde un peu plus les différents cas de figure, qu'est-ce qui peut se passer? Je répète, on s'intéresse au cas des fonctions rationnelles. C'est de la forme Pn sur Qn. Il y a trois cas de figure. Soit le degré de P est strictement supérieur à degré de Q. Là c'est un combat entre P et Q. P l'emporte, il est de degré supérieur. Donc cet infini va être plus fort que l'infini de Q. C'est exactement ce qu'on a vu ici, Qn va tendre vers plus infini. Si degré de Q est strictement supérieur à degré de P, c'est l'inverse. Q l'emporte, l'infini est plus grand et donc la limite de Un va être zéro. Il y a le troisième cas, degré de Q égale degré de P. Les deux sont de la même force, on va dire. Du coup ça va être le rapport des deux coefficients dominants. On va tendre vers un réel qui va être Q sur P. Q c'est le coefficient dominant de Q et P est le coefficient dominant de P. Si on fait un petit exemple pour voir. Si je considère la suite Un égale 3n² plus 2n plus 1 sur 4n² plus n plus 4, je factorise par le terme de peu degré, n², en haut et en bas. Donc ça se simplifie. Il me reste 3 plus 2n plus 1 sur n² au numérateur, et 4 plus 1 sur n plus 4 sur n². Évidemment ça tend vers 3, ça tend vers 4, et ça tend vers 3 quarts. Le rapport des coefficients dominants. Donc voilà, c'est vraiment les 3 cas de figure que vous pouvez rencontrer. C'est vraiment systématique, dès qu'on a une fonction rationnelle, on sera forcément dans un de ces 3 cas. Voilà pour la méthode sur les fonctions rationnelles.

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