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Fonctions Cos et Sin

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons faire un exercice sur les valeurs remarquables du cosinus et du sinus, différentes de celles que vous connaissez déjà par cœur, comme π/6, π/4, π/3, π/2, etc. Nous allons nous concentrer sur le cosinus π/8 et le sinus π/8, qui peuvent être démontrés. Dans cet exercice, on nous donne le cosinus de π/8 et nous devons trouver le sinus de π/8. Pour cela, nous utilisons la formule cos²θ + sin²θ = 1. Nous pouvons donc immédiatement en déduire que sin²θ = 1 - cos²θ. Simplifions un peu : lorsque nous mettons au carré, les racines disparaissent et le 4 devient 2, mais nous avons toujours des numérateurs. Nous obtenons donc sin²θ = 2 - √2/2. Faites attention à justifier cette démarche : nous supprimons les carrés, donc nous prenons la racine, ce qui nous permet de conclure que sin(π/8) est supérieur à 0, car π/8 est dans le premier quadrant, entre 0 et π/2, donc nous savons qu'il est positif. Étant donné que c'est positif, nous pouvons prendre la racine de ce nombre, qui est donc √2 - √2/2. Voilà pour le sinus de π/8. Il est important de rappeler que lorsque nous avons une équation de la forme x² = A, nous avons deux solutions possibles : x = √A (si A est positif, ce qui est le cas ici) ou x = -√A. Par exemple, si nous n'avions aucune idée de la valeur du sinus de π/8, nous aurions dû considérer l'autre option. Mais comme nous savons que c'est positif, nous utilisons cette valeur. Voilà un exemple d'exercice où l'on nous demande de calculer les valeurs exactes du sinus ou du cosinus d'un angle remarquable.

Bonjour tout le monde ! Petite correction d'exercice sur des valeurs remarquables du cosinus et du sinus autres que celles que vous connaissez par cœur, c'est-à-dire de π sur 6, π sur 4, π sur 3, évidemment π sur 2, et toutes les autres qui vont avec. Donc là, typiquement, une assez classique, c'est le cosinus π sur 8 et sinus π sur 8, que vous ne devez pas connaître, mais qui peuvent se démontrer. Donc là, dans cet exercice, on nous donne un cosinus de π sur 8, et à partir de ça, il faut trouver sinus π sur 8. Donc là, évidemment, il n'y a pas 36 questions à se poser, j'utilise le fait que cos² plus 1² c'est égal à 1, donc du coup j'en déduis immédiatement sinus² qui vaut 1 moins le cos², donc cette valeur-là au carré. Donc là, je vais essayer de simplifier un peu, quand je mets au carré, les racines sautent ici, là le 4 devient 2, mais tout de même des nominateurs, et je me retrouve avec 2 moins racine de 2 sur 2. Attention, bien justifier le passage ici, j'enlève les carrés, donc je passe à la racine, ce qui me permet de conclure, c'est que je sais que sinus π sur 8 est supérieur à 0, puisque π sur 8, ça appartient, c'est dans le premier cadran, entre 0 et π sur 2, donc je sais très bien que c'est positif. Comme c'est positif, je sais que je peux prendre la racine de ce nombre-là, qui est donc racine de 2 moins racine de 2 sur 2. Donc voilà pour le sinus de π sur 8. Attention, parce que là c'est assez facile, mais souvent les élèves ont tendance à oublier que quand on a une équation du type x² égale A, j'ai deux solutions. J'ai x égale racine de A, si A est positif bien sûr, enfin il l'est forcément vu que c'est un carré, x égale racine de A, ou x égale moins racine de A. Par exemple, si j'avais aucune idée de la valeur du sinus de π sur 8, j'aurais dû considérer l'autre cas ici. Et là c'est bon, je sais que c'est positif, donc ça vaut cette valeur-là. Voilà pour le genre d'exercice où on peut nous demander de calculer des valeurs exactes de sinus ou cosinus d'angle un peu remarquable.

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