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Les Primitives

Dans cet exercice, il s'agit de vérifier qu'une fonction composée est bien une primitive d'une fonction donnée, puis d'en déduire l'ensemble des primitives de cette fonction. Pour cela, on regarde l'ensemble de définition de dérivabilité, et on dérive la fonction composée pour vérifier qu'elle retombe bien sur la fonction donnée. On précise qu'il y a une infinité de primitives possibles définies à une constante additive près. Ensuite, on cherche à déterminer l'unique primitive qui prend une valeur fixe donnée, appelée condition initiale. L'ensemble des primitives de cette fonction est de la forme F(x) + ln(x) + K où K est une constante réelle, et la primitive qui s'annule à une valeur donnée est de la forme F(x) + ln(x) - 1 - E³. Cet exercice introduit les méthodes sur les primitives, utiles notamment pour la résolution des équations différentielles.

Bonjour à tous, on va corriger cet exercice sur les primitives d'une fonction qui vont servir pour la résolution des équations différentielles. Dans cet exercice, on a deux questions. La première, c'est de vérifier qu'une fonction composée est bien primitive de la fonction f qui est présentée dans l'exercice. Et du même coup, on va pouvoir en éduire l'ensemble des primitives de f. C'est une méthode qui est assez pratique. Pour vérifier qu'une fonction est une primitive, il suffit simplement de la dériver et de voir qu'on retombe sur f. Ça, ça marche très bien. C'est exactement ce qu'on va faire ici. La fonction f est la suivante, f de x égale 3x² plus 1 sur x. On nous demande simplement de vérifier que F, la fonction proposée ici, x³ plus ln de x est bien une primitive de f sur 0 plus infini. Toujours, on regarde l'ensemble de définition de dérivabilité. On a du ln de x, qui est dérivable et défini sur R étoile plus. Pas de problème, je peux dériver sur R étoile plus et là j'obtiens 3x² plus 1 sur x avec les opérations sur les dérivés. J'ai bien une primitive de f, je précise bien ici, c'est une primitive, pas la primitive, parce qu'il y a toujours une infinité de primitives définies à une constante additive près. C'est justement l'objet de la question 2, en déduire l'ensemble des primitives de f et ensuite déterminer l'unique qui prend E en la valeur 0. Ce qu'on appelle dans les équations différentielles une condition initiale, ce qui va nous fixer parmi toutes les solutions possibles, on va garder que celle qui fonctionne. L'ensemble des primitives de f, c'est celle qu'on a trouvé, plus une constante additive, que j'appelle K, K appartenant R. Elles sont toutes de cette forme. Elles sont toutes de la forme, grand F, x occulte plus ln de x plus K, K étant un réel. Maintenant on va trouver le réel K, qui fait qu'on va trouver la primitive qui s'annule en E, telle que, j'ai appelé grand G ici, on a grand G de E qui va être égal à 0. Grand G c'est F de F plus K, donc je regarde la valeur en E, ça fait F de E plus K, bon là je calcule la valeur de F de E, et j'obtiens E cube plus 1 plus K. Tout ça, ça doit faire 0, puisque c'est ce que l'énoncé nous demande. Là ça me donne une équation sur K, je trouve K égale moins 1 moins E cube, et donc la primitive de f qui s'annule en E, c'est x occulte plus ln de x, plus K qui vaut moins 1 moins E cube. Donc voilà, c'est un exercice d'introduction pour les méthodes sur les primitives, parce que c'est très utile, la résolution des équations différentielles propose principalement sur des calculs, entre autres, de primitives. Si vous avez la moindre question, n'hésitez pas de vous manifester dans la FAQ. Voilà pour cette méthode.

Primitives : condition initiale

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