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Les Primitives

Dans ce cours, nous apprenons à repérer des formes de fonctions composées afin de trouver plus facilement leurs primitives. Certaines formes comme U' sur racine de U, cos U fois U', U' x sin U, U' x E2U et U' sur U^n reviennent souvent et sont faciles à primitiver. L'opération inverse implique également la connaissance des dérivées des mêmes formes. La constante multiplicative n'est pas un problème et peut être trouvée en effectuant une bête décomposition. En prenant un exemple de fonction exponentielle U', nous avons vu comment trouver ses primitives en ajoutant le coefficient manquant et en utilisant la constante multiplicative. Toutes les primitives sont de la forme 1/6e de e^3x²-5 plus une constante, et sont fonctions de la forme de la fonction découvertes.

Salut tout le monde! Dans cette méthode importante, on va voir comment on apprend à repérer des primitives de fonctions composées. Donc votre but après ça va être de dire « Ah bah je reconnais cette forme, etc. » Donc je vais passer assez rapidement parce qu'il y en a beaucoup. Le but c'est pas de les apprendre par cœur, c'est de vous alerter sur le fait qu'il y en a certaines qui reviennent assez souvent et à force de les voir on se dit « Ah bah celle-là je la reconnais facilement. » Typiquement, quand il y a quelque chose du type U' sur racine de U. En fait, on sait qu'une primitive ça va être deux racines de U. Quand je dérive, je retombe sur cette expression-là. De la même manière, quand j'ai cos U fois quelque chose, regardez ce qu'il y a devant. Si c'est U', c'est parfait. En fait c'était facile à primitiver et primitif c'est sin U. Et exactement de la même manière, si j'ai un truc du type U' x sin U, là ça va être moins cos U, la primitive, n'oublions pas le moins ici. Quand il y a une exponentielle, j'ai U' x E2U, ma primitive c'est E2U. Quand j'ai un coefficient du type U' sur U, ma primitive c'est... Enfin, une primitive, à chaque fois je dis ma primitive, mais c'est une primitive, c'est ln de U. U' x U'n, alors là il faut jongler pour faire l'opération inverse. Ça fait, une primitive c'est U'n plus 1 sur n plus 1. Donc pour faire l'opération inverse, et les élèves font parfois du mal, l'idée c'est que vous vous proposez une primitive, vous faites le calcul en la dérivant et vous regardez si vous retombez sur la bonne fonction. Si vous voyez qu'il y a un problème de facteur, par exemple c'est deux fois trop grand, je mets un 1 demi devant, etc. Ça c'est une bonne méthode pour être sûr de ne pas se planter. S'il y en a quelque chose du type U' sur U'n, là c'est pareil, la primitive c'est moins 1 sur n moins 1, soit 1 sur U'n moins 1. Faut pas la prendre par cœur celle-là, c'est le contraire de la dérivation, quand je dérive, j'augmente le degré au dénominateur, là je vais le diminuer. Je sais que c'est quelque chose du type 1 sur U'n moins 1, et pour le facteur, quand je dérive U'n moins 1, il y a du n moins 1 qui apparaît, donc je vais faire 1 sur n moins 1 pour contrer ça. Ensuite, deuxième série, là c'est l'opération inverse, vous avez compris, la dérivée fait U' sur 2 racine de U, etc. C'est toutes celles qu'on a vues dans le sens contraire, qui permettent de, quand je les connais dans ce sens-là, je les retrouve plus facilement dans l'autre sens pour primitiver. Donc voilà, en fait, ce que je disais avant pour la partie la constante multiplicative, la constante multiplicative c'est pas un problème, même si j'ai pas la bonne qui est devant, je fais une bête décomposition, s'il me manque un 2, je dis que je fais 2.5, et le 2 apparaît. Donc là, c'est ce que je vais faire pour trouver la bonne valeur de ma constante multiplicative. Donc, le plus simple c'est de faire la mise en pratique, on me demande de déterminer toutes les primitives sur R de cette fonction-là. Là je vois que c'est exponentiel de U, donc je suis en droit d'espérer que devant c'est du U'. Alors qu'est-ce qu'on voit? C'est pas tout à fait U', parce que si ma fonction à l'intérieur c'est 3x²-5, sa dérivée va être 6x, donc il me manque le 6. Mais c'est pas grave, ça c'est de la forme KU'e de U, avec K qui est égal à 1 6e. Donc je fais apparaître mon 6 en disant que x est 1 6e de x, fois 6x. Donc là j'ai fait apparaître mon 1 6e, là j'ai bien mon U' et mon E'U. Donc finalement, les primitives de F sont de la forme E'U'x plus T, alors évidemment j'ai oublié le 1 6e, mais c'est pas grave, on va le mettre tout de suite. Donc là, il me manque le 1 6e, je les appais. Donc ça fait 1 6e de... On va faire un joli cadre. Voilà, donc toutes les primitives sont de la forme 1 6e de E'3x²'5 plus une constante. Pourquoi? Parce que c'est toujours, on le sait bien, à une constante près qu'on trouve nos primitives. Si jamais je voulais trouver la constante, j'ai besoin d'une condition particulière du type F'A'B, et là ça me permettra de déterminer précisément ma constante. Sinon, je sais qu'il y en a une infinité qui sont toutes définies à une constante à des tifrès. Donc voilà pour cette méthode pour trouver une primitive d'une fonction composée.

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