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Équation y'=ay
Dans cette méthode, il est expliqué comment résoudre une équation différentielle de premier ordre à coefficient constant. L'équation y' = y est étudiée plus spécifiquement, où dans cet exemple particulier, on a 3y' = 2y. Après avoir divisé par 3, on obtient y' = 2/3 y, ce qui correspond à la forme y' = y avec a = 2/3. On sait que les solutions sont de la forme k * e^(ax), donc dans ce cas k * e^(2/3 x), avec k appartenant à R réel.
Ensuite, on nous demande de donner l'allure des courbes solutions en faisant varier la constante k. Des exemples sont donnés avec différentes valeurs de k, où on voit que plus k augmente, plus la courbe se "décolle" et devient une exponentielle avec une constante multiplicative. Toutes ces courbes ont la même allure.
Ensuite, on nous demande de trouver la courbe qui vérifie f(1) = e. On sait que lorsque l'on a une condition particulière, il y aura une solution unique qui vérifiera à la fois l'équation différentielle et cette condition. Ici, on veut que f(1) = e, donc on cherche à déterminer la valeur de k. En remplaçant x par 1 dans la fonction f(x), on obtient une équation simple en k, qu'on résout pour trouver k = e^(1/3). Ainsi, la solution de l'équation différentielle avec la condition f(1) = e est f(x) = e^(1/3) * e^(2/3 x).
Il s'agit d'une méthode classique pour résoudre une équation différentielle du type y' = y avec une condition initiale. Pour plus de détails, référez-vous à la FAQ en cas de questions.
