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Équations Différentielles

Dans cette vidéo, l'objectif est de présenter la méthode de résolution des équations différentielles d'ordre 1 avec un second membre, en utilisant l'exemple de y' = y + b. La méthode consiste à chercher une solution particulière constante, puis à résoudre l'équation homogène y' = y. Ensuite, il suffit de faire la somme des deux solutions. Pour l'exemple y' = -y + 3, la solution homogène est y = ae^(-x). Ensuite, la solution particulière constante est phi = 3. Ainsi, toutes les solutions sont de la forme y = e^(-x) + 3 (avec une constante multiplicative quelconque). Il est important de noter qu'il y a toujours une constante multiplicative et que pour la déterminer, une condition particulière est nécessaire. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans la description.

Salut à tous, on va s'intéresser aujourd'hui à la méthode pour résoudre des équations différentielles d'ordre 1 avec un second membre, autrement dit les équations du type y' égale a y plus b, donc avec un b supplémentaire. La méthode est assez simple, c'est d'abord on cherche une solution dite particulière, constante. Donc en fait je vais essayer de résoudre et trouver une solution constante, une solution particulière. Et ensuite je vais résoudre l'équation homogène, c'est les solutions à l'équation y' égale a y. Je fais la somme de ces deux solutions et voilà tout simplement. Donc on va s'intéresser à cet exemple là, donc là j'ai une équation différentielle type y' égale à moins y plus 3, c'est de la forme y' égale a y plus b avec a égale moins 1 et b égale 3. Alors moi je l'ai fait dans l'autre ordre, peu importe il n'y a pas d'ordre, on résout d'abord l'équation homogène. L'équation homogène c'est j'oublie le b, donc c'est y' égale moins y. Là je vous dis que les solutions sont de la forme y de x égale grand a e de moins x avec a, une constante multiplicative réelle quelconque. Et ensuite je cherche ma solution particulière constante, voilà c'est ça qui est important. Si elle est constante ça veut dire que sa dérivée est nulle et donc je l'injecte et elle doit être solution, phi c'est une solution particulière, elle doit être solution de phi prime égale moins phi plus 3. Alors phi prime vaut 0, c'est à dire que 0 égale moins phi plus 3, j'en ai eu que phi égale 3. Et ensuite je fais la somme de ces deux solutions. Donc finalement toutes les solutions sont de la forme y de x égale a e de moins x plus 3, une constante multiplicative que je ne connais pas. Il y a toujours une constante multiplicative, si jamais pour pouvoir trouver sa valeur j'ai besoin d'une condition particulière comme on a parfois le cas du type y de alpha égale beta. Ça va me permettre, il y aura une unique solution qui vérifiera cette condition particulière. Donc voilà comment on fait pour résoudre une équation différentielle du type y prime égale a y plus b. Donc voilà si vous avez des questions n'hésitez pas dans la description.

Équation y'=ay+b

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