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Équations Différentielles

Dans ce cours, nous apprenons à résoudre une équation différentielle de la forme y = y + phi, où phi est une fonction qui n'est pas constante. Pour trouver la solution particulière, nous utilisons la méthode habituelle de trouver une solution particulière et de la sommer à l'équation homogène y = y. Cependant, nous ne cherchons pas une solution particulière sous une forme constante et avons besoin d'un petit indice pour la trouver. On nous demande ensuite de montrer que f est solution de E équivaut à f - p solution de E', où E' est l'équation sans le second ordre et f et p sont des fonctions. Nous isolons ensuite f pour trouver la solution de E. Nous remarquons que nous avons toujours la constante multiplicative inconnue, mais nous avons besoin de conditions particulières dans notre fonction pour la trouver.

On va regarder maintenant comment résoudre une équation différentielle du type y'est égal à y plus phi Donc on avait déjà vu comment résoudre y'est égal à y plus b C'est quoi la différence entre b et phi? C'est que b c'est une constante, phi c'est une fonction qui n'est pas constante a priori Donc là ça va être un tout petit peu plus compliqué pour trouver la solution particulière N'oublions pas la méthode, c'est toujours la même C'est je trouve une solution particulière Je résous l'équation sans l'équation homogène du type y'est égal à y et je fais la somme des deux La seule différence ici c'est pour trouver la solution particulière ou je vais pas chercher une solution particulière sous une forme constante Donc là j'ai besoin d'un petit indice et c'est l'énoncé qui me le donne Il me dit vérifier que la fonction p de x est solution de l'équation 2 Voilà ça c'est très simple, je prends p de x tel qu'il est C'est un polynôme donc évidemment il est bien dérivable, je calcule sa dérivée Et là je regarde si il est solution, c'est à dire qu'il faut que 2p' plus 6p doit être égal à x² plus 2x moins 1 Donc voilà je calcule 2p' plus 6p Là je fais les calculs, je passe assez vite J'ai entouré en jaune les coefficients en x En vert les coefficients en x² et les coefficients constants en violet C'est ça le but du jeu, quand on a des sommes de polynômes on essaye de ranger le tout par puissance Comme ça on s'y retrouve beaucoup mieux Donc je les ordonne par puissance et je trouve x² plus 2x moins 1 Quand je fais la somme de 2 c'est exactement ce que je voulais Donc conclusion, p est bien solution de cette équation Ensuite on me demande de montrer que f est solution de E équivaut à f moins p solution de E' Et E' qui est l'équation sans le second ordre Donc très bien, si f est solution de E, ça veut dire quoi? Ça veut dire que j'aurai 2f' plus 6f qui doit être égal à x² plus 2x moins 1 Or x² plus 2x moins 1, j'ai vu que ça faisait 2p' plus 6p Puisque p est bien solution de E, je sais que je peux remplacer ce x² plus x moins 1 par 2p' plus 6p Et ensuite je mets tout ça de l'autre côté Je retranche, ça me fait 2f' moins 2p' plus 6f moins 6p égal à 0 Je factorise, la dérivée de la somme c'est la somme des dérivées Donc ça fait 2 f moins p' plus 6f moins p égal à 0 Du coup j'ai bien f moins p qui est solution de E' où E' c'est 2y' plus 6y égal à 0 Donc j'ai bien f moins p qui est solution de ça Ensuite grâce à ça on en déduit les solutions de E Donc ce qui est bien c'est que E' c'est une équation différentielle que je connais bien Qui est linéaire à coefficient constant de premier ordre sans plus de seconde membre Donc je vais la résoudre, je vais la résoudre, je sais la résoudre Donc je la mets sous la forme que j'aime bien, c'est à dire que j'isole le Y' Et ça me fait Y' égale moins 3y Je reconnais une forme de type Y' égale Y avec A égale à moins 3 Et ça je sais que les solutions sont de la forme A E de moins 3x avec A à R Et donc comme on a vu juste avant, on a dit que si f est solution, c'est à dire que f moins p est solution de E' Et donc je sais que f moins p d'après ce que je viens de dire est de la forme A E de moins 3x Moi je connais p, ce que je cherche c'est f, du coup je disole f C'est à dire que f c'est A E de moins 3x plus p que je fais passer de l'autre côté ici Et donc c'est de la forme A E de moins 3x plus 1 sixième de x carré plus 2 neuvième de x moins 13 sur 54 Là une petite remarque sur les équivalences qui est importante Comme j'ai raisonné par équivalence, je sais que si f est solution de E' équivaut que f est comme ça avec A qui est à partir R Si j'avais raisonné simplement par application, j'aurais dû vérifier que réciproquement toutes les fonctions de cette forme sont bien solution Là j'ai pas besoin de le faire parce que comme j'ai raisonné par équivalence, je sais très bien que ces solutions, ces fonctions f de cette forme là sont bien solution On remarque qu'on a toujours la constante multiplicative qui est inconnue Pour la trouver, je vais avoir besoin comme d'habitude de conditions particulières dans ma fonction que je n'ai pas ici Donc voilà pour cette méthode avec du type, pour résoudre les équations différentielles, du type Y prime égal à Y plus phi où phi n'est pas une constante mais une fonction

Équation y'=ay+φ

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