Home

Terminale

Maths Spé

Analyse

Déf&Propriétés

L'intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle a, b représente l'aire de la surface entre la courbe de la fonction, les axes verticaux x égal à a et x égal à b, et l'axe horizontal. Cette aire est mesurée en unité d'aire, qui est un petit carré de taille 1 sur 1 dans un repère orthonormé. L'intégrale est notée par un signe mystérieux, "intégrale entre a et b de f de x dx". Si la fonction est négative, on mesure tout simplement la surface correspondante et on y met un signe moins. Si la fonction a des valeurs mixtes, on différencie les parties positives et négatives en calculant leur aire respective. Il faut toujours garder en tête que l'intégrale est positive au-dessus de l'axe des X et négative en dessous de cet axe.

Définition d'une intégrale. Pour f, une fonction continue et positive sur un intervalle a, b permet. On appelle intégrale de a à b de la fonction f, l'aire de la surface qui est délimitée par la fonction f elle-même et par les axes verticaux x égale a, x égale b, ainsi que l'axe horizontal o, x. En gros c'est l'aire sous la courbe. Si on le dit en mots tranquilles, on appelle ça domaine sous la courbe de f sur l'intervalle a, b mais on peut appeler ça air sous la courbe. On l'exprime en unité d'air, donc l'unité d'air c'est si vous voulez quand vous avez un repère orthonormé, vous pouvez dire que le petit carré de taille 1 entre 0i et 0j est une unité d'air. Parce que c'est pas toujours des centimètres carrés donc on appelle ça génériquement en maths, unité d'air pour pas vous mettre de centimètres ou de millimètres, c'est juste un petit carré de taille 1 sur 1, c'est une unité d'air. On la note intégrale, donc c'est une espèce de signe mystérieux qu'on découvre en fin en maths, intégrale entre a et b de f de x dx. On va voir un peu dans plusieurs vidéos pourquoi cette écriture, mais ça c'est vraiment la définition fondamentale, c'est l'aire sous la courbe. Alors vous allez me dire, oui c'est bien mais les fonctions continue positives c'est pas toutes les fonctions, donc on va un peu élargir cette définition, vous aurez bien raison de dire ça. On va regarder ce qu'il se passe pour les valeurs négatives, donc pour les valeurs négatives, pourquoi c'est pas très bien cadré ça? Je remets ça un petit peu plus droit. Voilà, pour les valeurs négatives, soit f une fonction continue sur l'intervalle a, b, on appelle intégrale de f sur a, b le nombre écrit de la même manière que tout à l'heure, défini par si f est positive, i égale l'air de la surface S, et si f est négative, moins r de la surface S. C'est à dire qu'on va mesurer dans ce cas là par exemple tout rouge, on va mesurer toute cette surface là, on va la calculer, on va compter combien elle vaut, on va dire que l'intégrale, si ça c'est genre 12 unités d'air, ou 12 cm² mais disons 12 unités d'air, on va dire que l'intégrale c'est moins 12. En fait on va prendre comme norme qu'on a une définition pour les fonctions positives, il n'y a pas de raison de ne pas en avoir pour les fonctions négatives, on va juste calculer la surface et mettre un signe moins. On va considérer que ce sont des surfaces négatives, c'est comme si on pouvait mettre un signe surface, c'est ce qu'on décide de faire pour cette notion d'intégrale. Après il y aura des cas un peu plus mixtes, comme le cas que j'ai mis là-bas, où ce sera quelques bouts qui seront positifs, quelques bouts négatifs. Quand on regarde ça un peu plus près, ce qu'on voit, j'ai le micro donc chiant, on voit cette fonction, j'ai donc une intégrale positive ici, mais je peux essayer de descendre un petit peu le niveau de cette intégrale, de cette fonction, pour avoir une fonction un peu différente, une cousine à ailes un petit peu décalée vers le bas, qui elle a certaines valeurs de son intégrale, donc de son air sous la courbe, qui vont être considérées comme négatives. Si je vais très très bas, on va considérer que cette air là, on va appeler ça une intégrale négative, on va donner à la valeur de cette intégrale qui sera moins la valeur de l'air que je peux mesurer, qu'elle est toujours positive, donc c'est une air. Et ensuite, si on veut le faire un peu pour ce cas là, donc c'est très simple, j'ai vu, et un mix, on dira juste qu'il y a des parties positives, des parties négatives. Voilà, c'est tout ce que j'ai à dire sur la définition. Je n'ai pas grand chose à ajouter là-dessus, à part sur l'idée que vous avez des graphes en gros qui vont passer au-dessus et en dessous de l'axe aux X, il faudra toujours penser que l'intégrale est positive quand on est au-dessus, négative quand on est en dessous, c'est une norme. Voilà, n'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ, et je vous retrouve pour la prochaine vidéo.

Définition de l'intégrale

RELATED

Recommended videos

Introduction

Encadrement et intuition graphique