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Dans cette vidéo, on apprend comment approximer l'aire sous une courbe en utilisant des formes géométriques telles que des rectangles, des triangles, etc. Cependant, pour les courbes plus complexes, on doit utiliser des méthodes d'approximation telles que les rectangles supérieurs et inférieurs, le point milieu et les trapèzes. Lorsque le nombre de rectangles augmente et leur finesse diminue, alors on atteint la vraie valeur de l'aire sous la courbe. En utilisant des graphiques pour illustrer ces méthodes, nous pouvons mieux comprendre comment est effectué le calcul d'aires et d'intégrales.

Bienvenue dans cette vidéo dans laquelle je vais vous présenter les différentes manières d'approximer l'air sur une courbe qu'il y a au programme. L'idée ici ça va être de mieux comprendre ce que c'est le calcul d'air. En fait on a déjà vu dans un exemple assez simple, quand j'ai une courbe qui est une droite, c'est très facile de calculer l'air sur la courbe, il suffit d'utiliser des formes géométriques comme des triangles, des rectangles, etc. Mais ça va être un peu plus compliqué dès que ça va être inturvé. Donc on va voir quelques méthodes d'approximation ici, qui ont comme intérêt principal que quand on les pousse à bout, à la limite, on obtient la vraie valeur de l'intégrale, la vraie valeur de l'air. Donc plusieurs méthodes, on appelle ça la méthode des rectangles supérieures et inférieures, ça c'est la méthode qui est au programme principalement, je vais l'illustrer avec des graphiques bien sûr. Le petit point en plus que je voulais rajouter c'était d'autres méthodes qui existent, qui sont pas du tout au programme mais qui peuvent aussi illustrer ce qui est possible de faire, on va les appeler la méthode du point milieu et la méthode des trapèzes. Donc avant de passer aux graphiques j'ai envie de vous montrer la définition officielle de ce que vous devez connaître. Pour f, une fonction continue est positive sur un intervalle a, b. On va partager l'intervalle a, b en n petits intervalles de même amplitude, ça va être en fait, on va le définir en n petits intervalles sur lesquels on va construire n petits rectangles, donc des rectangles assez fins, plus ou moins fins selon la valeur de n, et on va construire des rectangles inférieurs et des rectangles supérieurs, des rectangles qui vont venir coller la courbe juste par en dessous, donc leur r total va être plus faible que l'air sous la courbe, et des rectangles qu'on va venir coller juste au-dessus de la courbe. On nous dit qu'en n tend vers plus infini, quand le nombre de rectangles augmente, en même temps que leur finesse, alors, que ce soit pour les rectangles inférieurs ou les rectangles supérieurs, on va atteindre la vraie r sous la courbe. Et si la fonction est croissante, les trois r seront rangés dans un ordre croissant comme ceci. Laissez-moi illustrer avec un graphique, ce sera beaucoup plus simple de comprendre. Commençons par tracer la fonction, je vous ai pris un moment où le sinus est croissant. On veut atteindre cette r là, c'est l'air qu'on veut essayer d'approximer au maximum. La méthode des rectangles inférieurs, c'est la méthode qui consiste à faire ceci. On va venir coller un certain nombre de rectangles sous ma courbe. Donc là par exemple, j'ai décidé de mettre 6 rectangles, j'ai fait une subdivision en 6 parties de mon intervalle. Donc mon intervalle là ici c'est (-1,5, 1,5), je vois que chaque rectangle a donc pour largeur 0,5, j'en ai 6, et je vois que l'air, elle n'est pas si loin que ça. L'air de mes 6 rectangles n'est pas si loin de l'air sous la courbe, la différence étant ces zones blanches ici, ici, ici, etc. Si j'augmente le nombre de subdivisions, donc le nombre de rectangles, qu'est-ce que j'obtiens? De plus en plus de rectangles qui sont chacun de plus en plus fins. Donc j'ai un espace borné entre (-1,5 et 1,5), j'augmente le nombre de rectangles en diminuant leur taille. Quand je fais ça, ça me permet de me coller vachement plus à la courbe, et donc les petits résidus entre l'air sous la courbe et l'air des rectangles deviennent de plus en plus petits. Ça c'est l'air des rectangles, enfin c'est la méthode des rectangles inférieurs, donc je vais diminuer un peu pour que ça on voit mieux. Si je vous mets maintenant l'air des rectangles supérieurs, hop, voilà ce qu'on appelle les rectangles supérieurs, ce sont ceux qui viennent se coller à la courbe juste au-dessus à chaque fois. Cette fois-ci, je remarque que l'air est légèrement plus grand que l'air sous la courbe, et j'ai bien le résultat que l'air des rectangles inférieurs est plus petite que la vraie air sous la courbe l'intégrale, et est plus petite même que l'air des rectangles supérieurs. Les deux manières hors programme de le faire sont, que je voulais vous montrer, c'était l'air du point milieu, c'est quand on s'arrange pour calculer, pour tracer des rectangles, qui vont être traversés par la courbe au milieu à chaque fois de leur côté supérieur. C'est-à-dire ici on passe par le milieu, ici aussi, ici aussi, ici aussi. C'est une méthode beaucoup plus précise. La dernière étant assez jolie, c'est la méthode des trapèzes, je l'aime bien parce qu'on a beaucoup plus de liberté, vu qu'on permet à nos quadrilatères de ne plus être des rectangles, mais d'être cette fois-ci des trapèzes. On a donc un peu plus de liberté sur comment va être penché le côté tout en haut du quadrilatère. Et donc on peut se coller la courbe beaucoup plus. Je trouve ça assez élégant, donc super au programme, mais c'était histoire de vous le montrer. J'espère que cette vidéo vous a permis de mieux visualiser ce qu'on faisait quand on fait du calcul d'air et du calcul d'intégrale. Et si vous avez des questions, allez bien sûr les poser dans l'FAQ, je vous retrouve pour une prochaine vidéo.

Encadrement et intuition graphique

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