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Lien avec les Primitives

Dans cette vidéo, l'auteur présente le théorème fondamental de l'analyse, qui relie la notion de primitive et l'intégrale d'air sous la courbe. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle a, b. La fonction F définie comme l'intégrale de f entre a et x est dérivable et sa dérivée est égale à f elle-même. Ainsi, F est une primitive de f. L'auteur illustre ce théorème en prenant l'exemple d'une fonction parabolique, calculant l'air sous la courbe et traçant des fonctions qui correspondent à l'air sous la courbe pour différentes valeurs de x. En examinant son dessin, il montre comment la fonction dérivée est liée à l'air sous la courbe. La vidéo s'achève sur une explication visuelle de l'interprétation graphique de la démonstration du théorème.

Dans cette vidéo, je vais vous présenter ce que certains profs appellent le théorème fondamental de l'analyse. Il lit la notion de primitive qu'on a déjà vu auparavant, et la notion d'intégrale d'air sous la courbe qu'on a pu voir dans ce chapitre. Je vous le lis et on va le démontrer dans une vidéo qui va suivre. Donc, soit f, une fonction continue et positive sur un intervalle a, b. Définition, une fonction grand f qui va être définie sur a, b par l'intégrale entre a et x de petit f, c'est-à-dire l'air entre le point de départ de l'intervalle petit a et un point quelconque de l'intervalle petit x. Cette fonction, nous dit le théorème, va être dérivable, premier résultat, et sa dérivée va être réelle à petit f elle-même. Ça veut dire que grand f va être une primitive pour petit f. Je vais vous montrer ça avec un graphique pour illustrer et rendre ça un peu plus clair. Sur ce graphique, j'ai représenté en vert une fonction du genre moins x2. Moins x quelque chose, c'est une fonction parabole avec un signe moins. Ce que je vais faire, c'est que je vais calculer l'air sous la courbe. Là, je le fais dans le cas assez général où l'air va être autant négatif que positif, il n'y a pas de problème. L'air sous la courbe, au fur et à mesure que je me décale le long de l'axe aux x comme ça. Qu'est-ce qu'il va se passer? Essayez de deviner. Tout d'abord, quand je vais tracer l'air sous la courbe entre 0 et, je ne sais pas, 0,1 par exemple, le premier petit carreau, qu'est-ce que je vais avoir? Je vais avoir une valeur d'air qui va être à peu près 0,1 fois moins 1 si j'approxime. 0,1 fois moins 1, ça va être à peu près moins 1. Pourquoi? Parce qu'on a dit que l'air était négatif quand la fonction était négative. Je vais faire deux choses, je vais tracer l'air, je vais la colorier, et je vais tracer une fonction qui point par point, de temps en temps, parce que je fais des approximations rectangle par rectangle pour l'instant, point par point, va me tracer la valeur exacte, enfin pas exacte, mais la valeur en gros de l'air sous la courbe. Donc on va faire les deux. Si je monte un petit peu jusqu'à 0,1, hop, j'ai calculé, comme vous voyez, j'ai tracé déjà l'air sous la courbe rouge et j'ai calculé sa valeur approximative au fur et à mesure que j'augmente. Donc quand j'augmente, je pars au début d'une toute petite air, j'ai rajouté quelques petits filaments d'air ici, et je vois ici que toute cette air là, qui est entre moins 0,1 et 1, donc qui doit valoir à peu près moins 1, vaut, donc en moins 0,1, j'ai une air qui vaut moins 164, à peu près ce qu'on avait en tête. Qu'est-ce qui va se passer quand je vais continuer à me décaler et à ajouter de plus en plus d'air? Et bien, de plus en plus, ma fonction air va être négative. Elle va continuer à être négative parce que je rajoute des paquets négatifs, donc elle va devenir de plus en plus négative, mais de moins en moins vite, parce que si vous voyez, quand je me décale là, je rajoute quand même de l'air, mais chaque petit bout d'air que je vais rajouter va être plus petit. Si on imagine qu'il y a des rectangles, ils vont être de plus en plus petits jusqu'au coin ici. Donc ma fonction en bleu va avoir tendance à descendre, à être de plus en plus négative, mais elle va descendre de moins en moins vite, parce qu'à la fin, je rajoute quasiment plus rien, quand j'arrive exactement à cet endroit-là, par exemple. Là, je rajoute plus grand-chose. Qu'est-ce qui se passe maintenant? Quand je vais continuer à me décaler le long de l'axe aux X, qu'est-ce qui va se passer? Ici, je vais commencer à rajouter des paquets d'air qui vont être positifs. Donc ma fonction air, valeur de l'air totale en bleu, si je lui mets des paquets positifs alors qu'elle était négative, elle va commencer à remonter. Qu'est-ce qui va se passer? J'imagine que la courbe bleue va essayer de remonter au fur et à mesure que je rajoute des paquets d'air, mais je vais rajouter des paquets d'air qui sont de plus en plus gros. Si vous regardez ici, les paquets d'air que je vais rajouter vont être de plus en plus élevés au fur et à mesure. Donc j'imagine que ma fonction va monter assez vite. Allons voir ça tout de suite. Si je fais ça comme ça, je vois que quand je monte au fur et à mesure, c'est assez incroyable, mais oui, ma fonction en bleu traverse. Qu'est-ce qui s'est passé à cet endroit ici? À cet endroit ici, ma fonction air totale vaut 0. Pourquoi? Parce qu'en fait, il y a autant d'air positive verte que d'air négative rouge à cet endroit exact. Donc si je continue, je monte, je monte, je monte, je continue à rajouter des paquets d'air, et je monte de plus en plus parce que je rajoute des paquets de plus en plus gros. Arrivés ici, qu'est-ce qui se passe? Les paquets que maintenant je vais rajouter d'air vont être de plus en plus petits jusqu'à arriver au petit coin ici que je vais rajouter. Donc je vais continuer à augmenter parce que je rajoute des paquets positifs, donc la valeur de mon air devient de plus en plus positive, mais ça va être un peu moins accéléré si vous voulez. Et je vais avoir quelque chose comme ça. Ça monte, ça monte, ça monte, mais ça monte de plus en plus détente. Hop, jusqu'ici. Vous avez vu le début, qu'est-ce qui va se passer ensuite si on continue? Ma fonction air qui fait des jolies courbes, qu'est-ce qui va lui arriver? À partir d'ici, l'air total, j'avais du rouge, j'ai un peu de vert qui a compensé, je ne vais faire que rajouter du vert maintenant. Pardon, je ne vais faire que rajouter du rouge, du négatif. Donc là, elle va juste chuter de plus en plus. Je peux le faire si vous voulez un petit peu. Quand je rajoute de l'air, je vois que ma valeur totale d'air va diminuer, diminuer, diminuer. Il y a un moment où là, j'arrive au moment exact à peu près ici, où le rouge de chaque côté vaut exactement le vert. Donc le rouge ici et le rouge ici vaut exactement le vert parce qu'ici je vaux 0. Je vois que mon air total vaut 0. Et si je continue, bon alors là c'est la descente au enfer, hop, hop, hop, je chute et mon air est juste de plus en plus négatif. Quel est le lien avec la notion de primitive? Déjà, premier truc pour certains d'entre vous, j'imagine. J'ai une x2 ici. Et si vous êtes un peu au taquet sur à quoi ressemblent les fonctions, la fonction bleue que j'ai tracée ressemble quand même pas mal à une fonction x3. C'est déjà un bon signe pour se dire que c'est peut-être quand même une primitive, et que c'est un x3 et que je suis en train de parler d'une x2 de départ. Pourquoi est-ce que la bleue serait la primitive? Eh bien, on peut le comprendre en se disant que, si vous voulez, que l'air sous la courbe verte, qui est donc la courbe de la dérivée, va être négative quand la fonction dérivée est négative, et elle va être positive quand la fonction dérivée est positive. Donc quand l'air est négative, qu'est-ce que je fais? Je fais que rajouter à l'air des paquets négatifs, donc je décrois. Et donc en fait j'ai bien, quand cette fonction-là est négative, l'air est négative et je décrois. Donc j'ai un lien entre négativité de la fonction verte et décroissance de la fonction bleue. Ça, ça me rappelle la dérivée. Donc ça veut dire que, quand cette fonction-là est négative, donc f' négative, f décrois. Ensuite ici, toute cette zone-là, ma fonction verte x2, ma fonction dérivée disons-le, ma fonction dérivée est positive. Et donc ça correspond à quoi? Ça correspond à rajouter des paquets d'air positifs. Et c'est pour ça, en rajoutant des paquets d'air positifs, il se trouve que ma fonction va être croissante. Et donc j'ai maintenant encore une équivalence entre, ben, la fonction verte est positive et la fonction bleue est croissante. Ça me rappelle de plus en plus le lien entre une fonction et sa dérivée. Et enfin, quand je repars ici, je vois que, quand j'arrive là, ma fonction va recommencer à être décroissante. Pourquoi? Parce que cette fonction verte est négative. Donc si vous voyez ici la fonction verte, j'observe qu'elle est négative, positive, négative, ça correspond exactement au comportement décroissante, croissante, croissante. C'est là que je voulais vous montrer un petit peu cette notion que, oui, c'est pas improbable que la fonction bleue, qui a l'air d'être une X3 déjà, premier indice, et qui en plus a l'air de décroître quand la fonction verte est négative et croître quand la fonction verte est positive, la fonction bleue c'est un bon candidat pour autant primitive. Maintenant je vais le démontrer formellement dans une vidéo qui vient. J'espère que ça, ça vous a aidé comme visualisation, parce que ce dessin là, cette simulation, c'est quelque chose que j'ai mis beaucoup de temps à comprendre quand j'étais à votre place, et c'est un jour en prépa, genre en deuxième année, je me suis dit, mais pourquoi est-ce qu'il y a ce lien entre l'air sous la courbe et la primitive? Je comprends pas le lien, pourquoi? Pourquoi est-ce que ça descend, ça monte, c'est quoi le délire? Et j'ai dû me tracer à la main sur mon cahier, à me forcer un peu à essayer de le comprendre, et c'est ça que j'avais tracé. Donc j'essaie de le partager avec vous, j'espère que ça vous a aidé. Si je vous ai embrouillé, bon, vous pouvez passer à la vidéo d'après, et insister surtout sur l'apprentissage de la démonstration, mais j'espère sincèrement que ça vous a aidé, parce que on vous dit qu'il y a un lien entre primitive et air, et souvent on détaille pas assez, et donc je voulais insister un peu là-dessus. Si vous avez des questions ou vous avez besoin de précision, n'hésitez pas, allez dans la FAQ, moi je suis là pour ça, et donc je vous dis à la prochaine pour la démonstration.

Théorème fondamental : énoncé

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