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L'intégration par partie est une formule importante en mathématiques pour calculer des primitives ou résoudre des équations différentielles. La formule en gros dit que l'intégrale de uv' est égale à la primitive de u x v entre a et b moins l'intégrale entre a et b de u' x v. Elle est utile pour des intégrales compliquées où il n'est pas possible de trouver une primitive facilement. L'astuce consiste à interpréter les termes du produit comme u et v', puis à appliquer la formule pour simplifier l'inté

Bienvenue pour cette vidéo sur l'intégration par partie. Je vais essayer de faire une présentation assez extensive parce que c'est un sujet très important du chapitre et que ça tombe tout le temps en exercice. Donc deux choses, je vais essayer de vous montrer d'où ça vient et de démontrer un peu la formule, puis de vous montrer comment l'appliquer dans le concret et comment se dépatouiller avec. Alors, si on commence par l'expression assez basique du théorème en gros dans les bouquins ou comment vous le voyez en maths en général. Soit u et v de fonction dérivable sur un intervalle a, b. Elle est à demettre des dérivés u' et v', d'accord? Continue, merci. Alors, l'intégrale de uv' c'est égal à la primitive de u x v entre a et b moins l'intégrale entre a et b de u' x v. Vous allez me dire, ben t'es bien gentil, on avait une intégrale de uv', on retrouve toujours un calcul d'intégrale entre u' v. Mais justement, ça va être la force de cette formule. C'est que des fois, on aura des uv' qui vont être moches et pas vraiment résolubles. Résolvable? Bon, pas facile à résoudre. Et ensuite on pourra peut-être aller voir, on pourra toujours dire qu'il y a cette formule d'équivalence entre les deux et peut-être se dire que ben oui, mais si on se dépatouille, ça en fait c'est plus facile à calculer. Et ça va être l'idée générale. Donc, d'où ça sort, à quoi ça sert, je viens d'y répondre. Le but en gros de ce chapitre et des chapitres sur les primitifs, c'est de calculer des primitives ou de résoudre des équations différentielles. En fait, c'est un des grands défis pour les mathématiciens et les physiciens, c'est de réussir à résoudre des équations des fois très complexes. Et on se retrouve souvent à calculer des trucs assez compliqués. Et quand je dis terriblement compliqué, l'intégrale on peut l'écrire assez simplement. Par exemple, juste le produit x de x, et ben c'est pas évident. Si je l'ai comme ça, vous réfléchissez à votre tableau, c'est mon tableau de dérivés, mon tableau de primitifs, ben non. En fait, c'est pas dans mon tableau de primitifs ça. C'est pas dedans, il faut que je me dépatouille. On va avoir une première solution, donc il y a des intégrales comme ça, donc celle-ci ça va être gérable. Il existe des intégrales, donc des fonctions, où il n'est pas faisable de trouver des primitifs. Par exemple, la fonction exponentielle de moins x². Donc c'est compliqué, parce que c'est une exponentielle d'un carré, donc ça fait beaucoup de puissances qui se suivent. Il y en a certaines où ce n'est pas possible, mais certaines, on pourra avancer dès qu'on repèrera notamment un produit comme ça. Dès qu'on repère un produit de ce genre-là, on pourra tenter des trucs. Ce n'est pas dit que ça se débloque, mais ça sera peut-être faisable, notamment grâce à l'intégration par partie. Alors d'où vient cette formule? On va céder, pour gérer un peu des produits comme ça, on va céder la formule de dérivation de première. Donc en première, on avait une formule qui nous donnait la dérivée d'un produit de fonction, u fois v, c'est ça qui va être la source de la formule d'intégration par partie. Donc on va voir ça tout de suite. On se rappelle qu'en première, on avait uv' qui était égal à u'v plus v'u, donc voilà, limite c'est pas vlovien, je vous dis uv' ou vous répondez u'v plus v'u. Très bien. On avait ça en première. Plusieurs étapes. On va d'abord réorganiser les termes et isoler uv', parce qu'on sait que c'est ça qui nous intéresse dans la formule sur l'intégration. Donc je réorganise un peu les termes, je mets celui-là tout seul, hop, j'obtiens ça. Deuxième étape, je prends la primitive ou l'intégrale de l'équation. J'obtiens que l'intégrale de v'u égale l'intégrale de uv' moins u'v, et par linéarité, je peux dire que c'est égal à l'intégrale de uv' moins l'intégrale de u'v. La linéarité, c'est quand on dit l'intégrale de f plus g égale l'intégrale de f plus l'intégrale de g. Mais attendez une seconde. Si je regarde ça, moi je sais que l'intégrale, ça veut dire que je prends la valeur de la primitive entre b et a, et c'est bon. Le problème, c'est qu'on ne connaît pas la primitive de v'u, on ne connaît pas la primitive de u'v, mais la primitive de uv' c'est super simple. C'est la primitive d'une dérivée. C'est la fonction elle-même en fait. Donc là je peux simplifier et dire que, ben, ça, cette première intégrale, je peux la remplacer par la primitive, c'est-à-dire la primitive de uv' uv' entre b et a. Et donc c'est comme ça qu'on démonte la formule d'intégration par partie que j'ai montrée sur la première slide. On la démonte, on obtient l'intégrale de v'u, c'est égal à ça, le produit uv' entre b et a moins l'intégrale de u'v. Donc, maintenant, quel est son intérêt? Son intérêt, c'est que des fois on a vu qu'on avait des intégrales trop compliquées, des primitives qu'on ne savait pas calculer. Donc si on voulait calculer une intégrale, on n'allait pas pouvoir utiliser le tableau de primitives tout de suite, il fallait un peu jouer avec. Et alors peut-être que ça c'est un des jeux, un des tripotages qu'on peut faire de l'équation qui va nous aider à nous débloquer. Regardons par exemple l'exemple de départ. Donc ça c'est ce que je racontais au début. Ce que je vais raconter à l'instant, c'est l'idée qu'on va pouvoir regarder tout... quand on a un produit notamment à intégrer, ou à primitiver si vous voulez, quand on a un produit, on pourra se dire peut-être qu'on peut interpréter chacun des termes, comme un u' et un v', et voir s'il n'y a pas moyen d'inverser cette intégrale avec la formule d'intégration par partie. Donc faisons-le dans le cas concret de x et de x. Donc première étape, je vais me dire que je vais reconnaître un u et un v'. Je vais prendre u égal x, v' égal e de x. Vous pourriez argumenter et me dire oui, pourquoi pas l'autre? On va parler de ça dans une étape d'après justement. Donc là je prends un u et un v' qui vont fonctionner proprement. Donc première étape, je pose u de x égal x, v' de x égal e de x. Étape 2, je calcule. Parce qu'ensuite moi je veux dire que c'est égal à l'intégrale de u' v', mais il faut que je calcule absolument u'. Donc u' de x va être égal à 1 ici, et v' va être égal à e de x. Je pourrais prendre e de x plus 2. Je peux prendre n'importe quelle primitive et une constante près, honnêtement on ne va pas s'embêter, on prendra toujours 0, parce que pourquoi compliquer l'écriture? Donc v' ça m'arrange bien, c'est très simple à faire. J'obtiens donc la formule ici. J'applique la formule, je vous ai remis la formule théorique, ça va donner donc u' v' en primitive, enfin u' v' entre 4 et 1, moins l'intégrale de u' v'. Quand j'applique ici à mon cas, j'obtiens donc u' v', j'ai u ici fois v, x de x entre 1 et 4, moins l'intégrale cette fois-ci de u' v' 1 fois e de x. Et vous voyez la force de cette formule ici. x de x ingérable, 1 fois e de x, super simple. Parce que justement j'ai simplifié un des termes, ce ne sera pas toujours le cas, il y a des cas où ça ne marchera pas, mais il y a pas mal de cas où quand j'ai un produit de deux fonctions, je vais pouvoir faire une astuce de ce genre. Donc le terme ici il est juste calculable, c'est la valeur de ça en 4 et en 1, et ici je sais que je vais pouvoir faire maintenant une intégration à partir de mon tableau de primitive notamment. Alors, j'obtiens ce truc là, et c'est ce que je dis, donc pour la première fois, avec cette formule, pour la première fois d'un produit on a accès à deux intégrales au choix. Des fois il y en a une qui sera ingérable directement, des fois une qui est plus facilement ingérable. Très bien. Alors, je reviens sur le truc de tout à l'heure. Comment est-ce qu'on sait laquelle il faut dériver, laquelle il faut primitiver? Laquelle est un u, laquelle est un v'? Eh bien il faut essayer, c'est un peu l'esprit général, il faut tester et se dire, des fois on partira dans la mauvaise direction. Par exemple, si je dis maintenant que v' c'est x et que u c'est e de x, qu'est-ce que ça donne? Je pose u de x égale e de x, v' de x égale x. Deuxième étape, on calcule u' et v'. Deuxième étape, j'obtiens u' égale e de x, parce que quand on dérive l'exponential ça donne elle-même, et j'obtiens v égale x² sur 2, une primitive de x. Bon, on n'a plus que la formule. C'est pire! Parce qu'en effet le premier terme ici entre braquettes, entre crochets, je peux le calculer entre 4 et 1, il n'y a pas de problème, mais je me retrouve avec une primitive ici, enfin une intégrale, qui est horrible. C'est-à-dire j'avais x de x, je ne savais pas gérer, maintenant j'ai du x² de x, c'est encore pire. Donc là, ça ne m'arrange pas. Vous allez me dire, mais est-ce que à chaque fois je perds mon temps à jouer à pile ou face? Il n'y a pas vraiment savoir quel chemin prendre. Ça pourrait être oui la réponse, mais en fait moi je vous conseille d'apprendre par cœur une certaine liste de fonctions qui, quand vous les rencontrez, auront tendance à jouer le rôle de u et d'autres fonctions qui auront tendance à jouer le rôle de v'. Alors en bonus, je vais vous filer quelques petites exceptions. En fait, j'ai une grande règle pratique pour les exercices. Dans 90% des cas, ça va marcher. C'est la règle LPTE. Alors LPTE, c'est quoi? LPTE, c'est logarithme, polynôme, trigonométrie, exponentielle. LPTE. L'idée de ça, c'est un moyen mnémotechnique si vous voulez, c'est de dire dès que vous avez un exo avec un produit de fonction à intégrer, vous regardez vos deux fonctions, dès que vous avez un logarithme, vous le dérivez, vous l'appelez u. Si vous avez un logarithme, c'est lui qui s'appelle u. Si vous n'avez pas de logarithme, on recommence. Est-ce que j'ai un polynôme? Si j'ai un polynôme, c'est lui qui s'appelle u. Si je n'ai pas de polynôme, je passe à la troisième étape. Je passe à la trigonométrie. Si j'ai une fonction sine ou cos, c'est elle qui sera dérivée en priorité. Enfin, si je n'ai ni logarithme, ni polynôme, ni trigonométrie, je passe à l'exponentielle. Et là, c'est elle qui sera dérivée en priorité. Mon ordre de priorité de qui va avoir tendance à se faire dériver, c'est logarithme s'il est présent. Pourquoi? Principalement parce qu'il est horrible à intégrer face à un exercice en soi. Ce n'est pas un truc dont on a une primitive facilement. Si il n'y a pas de logarithme, c'est le polynôme qui sera dérivé en premier. Si il n'y a ni logarithme, ni polynôme, c'est la trigo. Etc. Donc, exemple sur ce qu'on a vu tout à l'heure. Sur ce qu'on a vu tout à l'heure, on peut faire L, P, T, E. Y a-t-il un logarithme? Non. Alors, y a-t-il maintenant comme candidat pour être u un polynôme? Oui, il y a X. Boom. Je pose U de X égale X. V' de X égale l'autre, E de X. On recommence. Si maintenant j'ai log de X, là c'est un peu piégeux. A votre avis, qu'est-ce que je fais? Log de X, direct. L, P, T, E. Y a un log, donc c'est lui qui sera mon U. Donc je pose U de X égale log de X. Mais alors, c'est quoi mon V'? L'astuce ici, c'est de dire que V' de X, et ça c'est une astuce d'exercice qui tombe tout le temps donc je vous conseille de la retenir, V' de X en fait c'est 1. Vu que c'est 1, je vais pouvoir écrire U de X égale log de X. V' de X égale 1. Très bien. Dernier exemple, si j'ai X sin 2X, L, non. Polynôme, oui. C'est le X qui sera mon U de X. Et donc direct je pose l'autre qui égale au V' par définition. Voilà. Ce sont quelques exemples assez basiques. Mais c'est pour vous dire que cette méthode L, P, T, E marche dans 90% des cas. Mais alors, il faut aussi s'adapter parce qu'il reste 10% des cas où malheureusement le L, P, T, E dont je parle là ne marchera pas. Donc par exemple, il y a des exercices, donc je vous mets un exemple d'exception en fait, comme ça. Il y aura des exercices où c'est autre chose que la règle L, P, T, E qu'il faudra faire, donc en l'occurrence ici ça sera l'inverse. Par exemple, ce genre d'exo, il faudra faire une double intégration par partie. Donc il y a certaines intégrales comme celle-ci, puis après on verra ça dans les vidéos de méthodes et d'exercices plus difficiles. C'est un challenge, je vous le laisse ici. Il y aura des primitifs qui seront beaucoup plus complexes et sur lesquels la méthode L, P, T, E ne fonctionnera pas. Donc j'espère que cette vidéo vous a bien clarifié les idées sur ce que c'est l'intégration par partie. J'essaie de démontrer, enfin je vous ai démontré d'où est-ce que ça venait, pourquoi on l'utilise, et surtout comment on l'utilise. Pour ne pas être dans le vide et être un peu dans le pile ou face permanent, je vous conseille d'apprendre un peu cette règle L, P, T, E. D'apprendre ensuite quelques exceptions, quelques classiques, c'est toujours un peu les mêmes exos qui retombent. Surtout pour les exos un peu plus durs, ils mettent toujours le même genre de trucs, le même genre d'astuces. Et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Si vous avez des questions ou si vous voulez aller plus loin, etc. Allez dans la FAQ pour la poser, pour voir si quelqu'un ne l'a pas déjà posé avant vous. Je vous dis à la prochaine!

Intégration par Parties

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