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Convexité

La convexité d'une fonction est un concept important en mathématiques. Pour déterminer si une fonction f(x) est concave ou convexe, il suffit d'observer le signe de la dérivée seconde de la fonction.

Dans le premier exemple, la fonction f(x) = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x + 1 est un polynôme dérivable deux fois. En dérivant deux fois la fonction, on obtient f''(x) = 2x - 3. On remarque que f''(x) est positif pour x > 3/2 et négatif pour x < 3/2. Par conséquent, la fonction f(x) est concave lorsque x < 3/2 et convexe lorsque x > 3/2.

Dans le deuxième exemple, la fonction f(x) = 3x - 3x^(3/2) est définie sur l'ensemble des réels positifs (r*+). En dérivant et en calculant la dérivée seconde, on obtient f''(x) = -9/(4√x). Comme racine de x est toujours positive, on en déduit que f''(x) est toujours négatif. Ainsi, la fonction f(x) est concave sur tout son ensemble de définition.

La concavité d'une fonction peut être interprétée en termes de tangentes. Lorsqu'une fonction est concave, la tangente est située au-dessus de la courbe sur tout l'intervalle où la fonction est concave. On dit alors que la tangente est sécante avec la courbe en un unique point, le point de tangence. De plus, la courbe est toujours au-dessus des cordes définies par deux points de la courbe.

En conclusion, l'étude de la concavité et de la convexité d'une fonction permet de déterminer la position relative de la tangente par rapport à la courbe. Une fonction concave est en dessous de sa tangente, tandis qu'une fonction convexe présente la situation inverse.

Alors on va s'attaquer maintenant à la convexité d'une fonction, un chapitre qui est quand même assez important. Donc ça va être un exemple complet qu'on va regarder dans la méthode. Est-ce que f est concave ? Est-ce que f est convex ? On va voir les conclusions qu'on en tire. Donc là c'est très important, en fait la concavité nous permet de trouver plein de propriétés intéressantes, notamment la position de la tangente par rapport à la courbe, etc. Donc on va étudier dans cet exercice cette fonction-là, la fonction f de x égale à 1 tiers de x au cube moins 3 demi de x carré plus 2x plus 1. D'abord cette fonction-là évidemment c'est un polynôme, donc forcément dérivable une infinité de fois, donc au moins deux fois. Quelques rappels d'abord pour une fonction qui est deux fois dérivable, vous verrez l'année prochaine qu'on peut étendre cette définition de concavité, de convexité, même pour des fonctions qui ne sont pas dérivables deux fois, mais ça ce n'est pas le chapitre d'aujourd'hui. Donc nous on regarde le signe de la dérivée seconde, c'est assez simple en fait, on regarde le signe, si c'est positif c'est convex, si c'est négatif c'est concave. Donc cette fonction-là, elle est dérivable deux fois, comme je disais, je la dérive deux fois, bon là c'est juste du calcul, j'utilise mes propriétés de dérivation pour trouver les formules, et donc j'ai f seconde qui vaut 2x moins 3. Donc immédiatement ce que je vois c'est que c'est positif pour x qui est supérieur à 3 demi, et c'est négatif pour x inférieur à 3 demi. Donc du coup j'en déduis le signe de f seconde de x qui est positif et négatif sur les deux intervalles. Donc d'après ce que je viens de dire, ça veut dire que je sais qu'elle est concave sur la partie où elle est négative, donc sur moins infini moins 3 demi, et elle est convexe sur la partie 3 demi plus infini. Donc fin de l'exercice, là ce qu'on demandait c'est juste dire où est-ce qu'elle est convexe, concave. Ensuite c'est dans la deuxième partie qu'on va regarder comment ça s'interprète en termes par rapport aux tangentes. Deuxième fonction, deuxième exemple dans la méthode, cette fois on a 3x moins 3x fois racine de x. Donc attention, on nous demande de l'étudier sur r étoile plus. Pourquoi ? A cause du racine de x qui déjà n'est pas défini sur r- et en plus qui n'est pas dérivable en 0. Voilà pourquoi l'étoile ici est très importante, parce que c'est pas dérivable en 0. Donc là encore une fois j'applique mes formules, f prime de x ça vaut 3 moins la dérivée de 3x racine de x, c'est un produit, je fais mon produit, donc je trouve facilement, c'est du calcul, je trouve 3 moins 9 demi de x, et là je re-dérive encore une fois pour trouver la dérivée seconde, et je trouve que ça fait moins 9 quarts sur racine de x. Donc là le signe c'est facile, on voit que comme racine de x est tout le temps positive, on dit que ma dérivée est tout le temps négative. Donc on conclut que ma fonction f est concave sur tout son ensemble de définition. Comment ça s'interprète la concavité ? C'est que quand je trace une tangente, c'est-à-dire que cette tangente sera toujours au-dessus de la courbe, elle est toujours au-dessus de la courbe sur tout l'intervalle où la fonction est concave. Donc là comme elle est concave sur tout son ensemble de définition, c'est-à-dire que la tangente est au-dessus de la courbe en permanence, sur tout l'ensemble de définition. Donc c'est ce que je viens de dire, la courbe est située sous ces tangentes. On nous demande d'utiliser le mot séquente, ça veut dire que la tangente est séquente avec la courbe en un point seulement, c'est le point de tangence, comme ensuite elle est toujours strictement en dessous, elle ne peut pas la recouper, elle ne peut pas être séquente une deuxième fois. Finalement j'ai un unique point de séquence. Petite propriété supplémentaire, on peut dire que CF, la courbe de représentatif de F, est au-dessus de ces cordes. Je vais vous montrer ce que ça veut dire avec une petite animation, ce que ça veut dire en termes de ce que c'est les cordes, ça c'est plutôt pour ceux qui continueront les maths l'année prochaine, on va parler de cordes. Sur cette animation-là, quand je joue avec les points de tangence, on voit que quelle que soit la tangente, je suis toujours au-dessus de la courbe, partout je suis au-dessus, et j'ai bien un unique point de tangence. Même en dessous, on ne dirait pas, mais en réalité j'ai qu'un point, c'est juste que la tangente épouse de plus en plus la courbe, mais j'ai quand même qu'un point d'intersection, qui est le point de tangence. Qu'est-ce que c'est qu'une corde ? Une corde, tout simplement, c'est le segment que définit deux points de la courbe. Là j'ai mes deux points violets, je peux définir une corde en reliant... Là, le point en vert, c'est une corde, et je vois que la courbe est toujours au-dessus, tout l'intervalle qui est défini par la corde, entre les deux points violets, la courbe rouge est toujours au-dessus de ces cordes. Quoi qu'il arrive, elle sera toujours au-dessus, entre les deux parties, entre les deux points, parce que si on prolonge, elle va passer en dessous, mais juste sur le segment, la courbe est au-dessus. Ça vous en servira un peu l'année prochaine. Voilà comment on peut utiliser la concavité et la convexité. Quand on vous demande d'étudier la position relative d'une tangente par rapport à une courbe, il faut penser convexité, concavité. Souvent, ça permet de répondre à la question. Là on a une fonction concave, elle est en dessous de sa tangente, dans une fonction convex, ça sera exactement le contraire. Ça sera la tangente qui sera en dessous de la courbe. Voilà pour cette méthode, si vous avez des questions, n'hésitez pas à aller dans l'FAQ.

Convexité et f''

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