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Convexité et f''
La convexité d'une fonction est un concept important en mathématiques. Pour déterminer si une fonction f(x) est concave ou convexe, il suffit d'observer le signe de la dérivée seconde de la fonction.
Dans le premier exemple, la fonction f(x) = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x + 1 est un polynôme dérivable deux fois. En dérivant deux fois la fonction, on obtient f''(x) = 2x - 3. On remarque que f''(x) est positif pour x > 3/2 et négatif pour x < 3/2. Par conséquent, la fonction f(x) est concave lorsque x < 3/2 et convexe lorsque x > 3/2.
Dans le deuxième exemple, la fonction f(x) = 3x - 3x^(3/2) est définie sur l'ensemble des réels positifs (r*+). En dérivant et en calculant la dérivée seconde, on obtient f''(x) = -9/(4√x). Comme racine de x est toujours positive, on en déduit que f''(x) est toujours négatif. Ainsi, la fonction f(x) est concave sur tout son ensemble de définition.
La concavité d'une fonction peut être interprétée en termes de tangentes. Lorsqu'une fonction est concave, la tangente est située au-dessus de la courbe sur tout l'intervalle où la fonction est concave. On dit alors que la tangente est sécante avec la courbe en un unique point, le point de tangence. De plus, la courbe est toujours au-dessus des cordes définies par deux points de la courbe.
En conclusion, l'étude de la concavité et de la convexité d'une fonction permet de déterminer la position relative de la tangente par rapport à la courbe. Une fonction concave est en dessous de sa tangente, tandis qu'une fonction convexe présente la situation inverse.
