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Fonctions et Limites

Cet article traite de l'étude d'une fonction logarithmique, qui est facile à étudier mais utilise une méthode classique. La fonction proposée est ln2x+1/ln2x-1, définie sur 0 exclu jusqu'à l'infini. La méthode utilisée pour étudier cette fonction est de la dériver, en utilisant la formule g' = u'v - uv' / v², ce qui permet d'obtenir une fonction dérivée de la forme -2x / (ln2x - 1)², qui est strictement négative sur 0e, mais aussi sur e jusqu'à l'infini, sauf en e où elle est indéfinie.  Le tableau des variations de la fonction est ensuite déterminé en calculant les limites de la fonction en 0, e-, e+ et à plus l'infini, pour avoir un tableau des variations complet. Il est également noté que la présence de la valeur interdite du logarithme engendre une asymptote verticale en x = e et une asymptote horizontale en y = 1. Enfin, il est souligné que la fonction n'est pas strictement décroissante sur tout l'intervalle.

On va maintenant s'intéresser à une étude de fonction faisant intervenir le logarithme. C'est une fonction facile à étudier, mais la méthode est plutôt classique, donc on va regarder un peu comment on fait une étude de fonction avec les logarithmes. La fonction proposée c'est ln2x plus 1 sur ln2x moins 1. Évidemment elle est définie sur 0e exclu e plus l'infini. Pourquoi on parle de 0 à cause du logarithme et pourquoi pas e? Parce qu'évidemment à cause du dénominateur qui s'annule en e. Donc j'ai bien dérivable sur un val comme caution de telle fonction. C'est de la forme u sur v, donc la dérivée c'est g' égale u'v moins uv' sur v². Donc je fais mes petits calculs et je m'en retrouve avec ici le ln2x simplifié avec le ln2x là. Il me reste tout simplement moins 2x sur ln2x moins 1². Donc là tout ce qui est en bas est strictement positif puisqu'on est sur Réactoile plus. Là on a un carré positif aussi. Donc finalement à cause du moins 2 là, g'2x est strictement négatif. Alors attention il y a une valeur interdite en e. Donc ne dites pas que j'ai une décroissante sur tout l'intervalle i. Non, on sépare les deux intervalles. On va dire qu'elle est décroissante sur 0e et décroissante sur e plus l'infini. Mais ça ne veut pas dire qu'elle est décroissante sur tout l'intervalle. Parce que, et typiquement c'est ce qui va se passer là, elle va descendre et après elle va repartir de plus l'infini. Donc il y a un décrochage là et de ici à là elle n'est pas décroissante. Elle va remonter à plus l'infini. Donc ça c'est hyper important. Alors quand il y a une valeur interdite, très souvent, pas tout le temps, mais très souvent c'est parce qu'il y a une division par 0, on va de part et d'autre de cette valeur, on sera plus ou moins infini. Donc vous savez que dans certains cas ce sera tous les deux plus l'infini, des deux côtés moins l'infini, mais le plus souvent c'est moins l'infini d'un côté et plus l'infini de l'autre. On va étudier les limites de G pour avoir un tableau de variation complet. Donc regardons en 0. On va faire des choses propres pour avoir le tableau de variation de complet. Donc là en 0, j'utilise la méthode où je factorise par le terme dominant. C'est ça qu'il faut toujours comprendre. Ici en 0, ln de x tend vers moins l'infini, donc c'est lui qui domine par rapport au 1. Donc je factorise par ln de x, en haut et en bas. Et du coup là c'est beaucoup plus simple, parce que là ce truc là tend vers 0, celui là aussi ça fait 1 sur 1, donc en 0 ça tend vers 1. Maintenant en E, donc ln de x, on va devoir distinguer en E- et E+, par valeur inférieure et par valeur supérieure. En E-, ln de x-1 tend vers 0-. En E+, ça tend vers 0+. Et lui, ln de x plus 1, il tend vers... Quand x tend vers E, il tend vers 2, que ce soit vers E+, ou vers E-. Donc par quotient, ça me fait 2 sur 0- ou 2 sur 0+. Je vois qu'en E-, ça va tendre vers moins l'infini, et en E+, ça va tendre vers plus l'infini. D'où mon tableau de variation, au-dessus, qui est complet, avec toutes les limites. Ah oui, j'ai oublié le plus infini, pardon. Il nous manque plus l'infini. Hop, plus l'infini, c'est pareil. On factorise par le terme dominant qui est ln de x. Je reutilise les mêmes expressions que tout à l'heure, là, pour 0, et je vois que ça tend vers 1 aussi. Donc là mon tableau de variation est complet, avec toutes les limites. OK. Alors si on trace la fonction, celle qui est tracée en rouge, on voit qu'au cause de la valeur interdite, on a une asymptote verticale d'équation x égale E, et pas Y, pardon, x. Et on a une asymptote horizontale en plus de l'infini, puisque f de x tend vers 1. Donc c'est une asymptote horizontale d'équation Y égale 1. Et là on voit bien ce qu'on disait tout à l'heure, là elle est décroissante, là elle est décroissante, mais je ne peux pas dire qu'elle est décroissante sur tout l'intervalle Y, parce qu'il y a un saut de moins l'infini ici à plus l'infini là. Voilà, donc ça c'est très important. Voilà pour cette méthode sur l'étude de fonction qui utilise le logarithme. Si vous avez des questions, comme d'habitude, vous pouvez aller sur la FAQ. Merci.

Dérivabilité et Variations

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