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Fonctions et Limites

Dans ce cours, nous analysons la fonction f qui définit la position suivante  3-x + 2ln2x. Nous dérivons la fonction pour trouver son signe et en déduire que la fonction est décroissante sur R étoile plus. En utilisant des croissances comparables, nous trouvons les limites de la fonction à l'infini et à 0. Nous utilisons ces limites pour établir le tableau de variation de f et trouver son extrémum. Ensuite, nous étudions la convexité de f en trouvant la dérivée seconde et en déduisant qu'elle est concave sur R étoile plus tout entier.

Ok, maintenant on va regarder comment on peut utiliser les croissances comparables pour l'étude de limite avec le logarithme et ensuite petite question bonus, vous l'avez l'habitude, sur la convexité. Donc très bien, on étudie la fonction f qui définit la position suivante 3-x plus 2ln2x, donc là très classique. Cette fonction elle est dérivable sur R étoile plus, je dérive ça fait moins 1 plus 2x, ce que je veux c'est son signe. J'utilise son signe, moins 1 plus 2x est inférieur à 0, ça veut dire que j'isole le x de sur x supérieur à 1, donc là j'ai dit bien supérieur à 0, pourquoi? Parce que je vais passer à la fonction inverse qui est strictement décroissante, donc voilà sur R étoile plus, voilà pourquoi je m'assure d'être sur R étoile plus. Donc ça veut dire que x sur 2 est inférieur à 1 et donc que x est inférieur à 2. Donc, et pour x supérieur à 0, inférieur à 0 évidemment, on va trouver exactement le contraire, x inférieur à 2. Donc du coup sur 0, 2, f'2x est positive et sur 2 plus l'infini, f'2x est négative. Alors, du coup je vais quand même calculer combien vaut f2, ça fait 1 plus 2ln2. Pour avoir un tableau de variation complet, j'ai besoin des limites, donc je vais étudier les limites. En plus l'infini, je factorise toujours cette idée de factoriser par le terme prédominant, je sais que c'est x qui l'emporte par rapport à ln, ln c'est beaucoup moins fort, donc je factorise par x et j'ai x facteur de 3 sur x, moins 1, plus 2ln2x sur x. Ça, par croissance comparée, c'est mes limites usuelles du cours, je sais que ça tend vers 0 en plus l'infini, 3 sur x aussi, donc du coup je me retrouve avec moins 1 fois plus l'infini, ça fait moins l'infini par produit. Et quand x tend vers 0, c'est très facile, puisque là, ça tend vers 0 et 2ln2x tend vers moins l'infini. Donc voilà, j'ai toutes mes limites, j'ai mon extrémum, et donc je peux donner le tableau de variation complet de f. Voilà, donc je vois mes limites, là je vous ai tracé le graphe, on voit bien que c'est moins l'infini et moins l'infini, et avec un maximum en 2. Ok, parfait, ensuite on nous demande d'étudier la convexité de f. Bon, ça vous avez l'habitude, je dérive une deuxième fois, je trouve que f seconde de xt moins 1 sur x², qui est strictement faillante à 0 sur R étoile plus, donc f, elle est concave sur R étoile plus tout entier. Voilà pour cette méthode, j'espère que c'est clair pour vous, si des choses ne sont pas claires, vous pouvez, comme d'habitude, aller sur la FAQ, voilà pour cette méthode.

Croissance Comparée

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