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Cette vidéo explique comment déterminer l'équation de la tangente à une courbe dans le cadre de l'étude d'une fonction. La méthode est classique et doit être maîtrisée, car elle est souvent utilisée dans les exercices portant sur les tangentes et la position relative de la courbe par rapport à la tangente.La vidéo présente deux exemples. Dans le premier, la fonction étudiée est f(x) = x² + 3x + 1. On calcule f'(2) et f(2) pour obtenir l'équation de la tangente au point d'abscisse 2. En utilisant la formule y = f'(a) * (x - a) + f(a), on trouve que l'équation de la tangente est y = 7x + 3.La vidéo explique également la provenance de la formule de la tangente, qui se fonde sur la détermination du coefficient de directeur (la dérivée de la fonction au point de contact) et de l'ordonnée à l'origine (la valeur de la fonction au point de contact).Dans le deuxième exemple, la fonction étudiée est g(x) = e^x. On calcule g'(0) et g(0) pour obtenir l'équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse 0. L'équation de la tangente est y = x + 1, qui est la tangente la plus connue de l'exponentielle.Il est important de bien maîtriser cette méthode, car elle est incontournable dans les études de fonction.

Petite méthode sur les déterminations d'équations de tangente, quelque chose d'assez classique, il faut savoir bien maîtriser, parce que dans n'importe quel exercice, vous aurez une étude de fonction à réaliser, très souvent il y aura étude des tangentes et position relative de la courbe par rapport à la tangente. On ne va pas étudier ce dernier point dans cet exercice, mais souvent ce schéma-là est suivi, donc à savoir bien maîtriser. On nous propose une fonction f à étudier, x² plus 3x plus 1, et on va nous faire étudier une tangente. On nous demande de calculer f' de 2 et f2, ça n'a rien de très compliqué, on calcule f2, je trouve que ça fait 11, on le justifie bien, ce n'est pas parce que c'est une méthode facile qu'on fait mal les choses, on justifie bien l'ensemble de dérivabilité, je dis que f est dérivable sur R, parce que c'est un polynome, et f' de x ça fait 2x plus 3, donc tout x appartenant à R, et f' de 2, en faisant le calcul, je vois que ça fait 7. On va pouvoir en déduire l'équation de la tangente, donc la formule que je connais par coeur, y égale f' de a fois x moins a plus f de a, ici a va au 2, donc voilà pourquoi on a fait étudier f' de 2, enfin calculer f' de 2 et f de 2, et je trouve donc que l'équation de la tangente, en simplifiant ça fait y égale 7x plus 3. Me permet ici de faire un petit retour sur cette formule un peu magique, f' de a fois x moins a plus f de a, on l'apprend toujours par coeur, souvent les élèves ne savent pas d'où ça vient en vrai, alors que la formule finalement est assez simple. Qu'est-ce qu'il se passe? Donc là je vais redémontrer cette formule, je pense que c'est toujours bien de savoir d'où ça vient. Donc on a une équation de droite, une équation de droite c'est de la forme y égale mx plus p, toujours. Donc ce qu'il faut c'est juste trouver le m et le p, le m qui est la coefficient de directeur, et p l'ordonnée à l'origine. Ce qui est bien c'est que je sais que la définition de la tangente au point a, je sais par où elle passe, elle va passer par ce point que j'ai appelé grand A, qui est de coordonnée petit a f de a, ici en psi s'ordonnée, et je connais sa pente aussi, sa pente c'est celle de la dérivée au point a de f' de a. Donc déjà ça c'est gagné, m je sais que c'est de la coefficient de directeur, ou la pente c'est la même chose, donc je sais que m égale f' de a. Donc finalement il ne reste plus qu'à trouver p. Donc comment on peut faire pour trouver p? En fait on sait que la tangente passe par le point de tangence, justement ce point que j'ai appelé grand A. Donc ça veut dire que ce point là vérifie les coordonnées de la droite. Pardon, les coordonnées de ce point, c'est pas très clair ce que je dis, les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la droite. Donc pour x égale a, ça veut dire que y doit être égal à f de a dans mon équation de droite. Donc je le remplace, donc là c'est mon y et là c'est mon x, de mx plus p. Donc pour x égale a, je sais que y est égal à f de a, donc je le remplace. Moi ce que je cherche c'est de trouver p. Donc p je le déduis, ça vaut f de a moins af' de a. Donc c'est bon maintenant je connais tout le monde, je connais m et je connais p, donc je peux déduire l'équation de la droite. J'ai y égale f' de a fois x plus mon p, qui est égal à f de a moins af' de a. Et en fait, là je factorise simplement par f' de a ce qui est factorisable, et je me retrouve avec f' de a fois x moins a plus f de a. Donc voilà d'où vient la formule. Donc ça c'est bien de toujours se souvenir que ça vient de cela. Deuxième partie, on nous demande d'étudier une nouvelle fonction, donc une nouvelle question. g de x égale e de x, et on veut l'équation de la tangente à la courbe Cg au point tapis 0. Donc g de x c'est l'exponentiel, g' de x c'est toujours l'exponentiel. Bon là j'ai pas été très explicite, mais évidemment dérivable sur R, etc. Je vais appliquer la formule. Y égale, en 0, donc c'est l'équation de la tangente au point tapis 0, donc g' de 0 fois x moins 0 plus, alors là petite erreur, c'est pas un f évidemment, c'est un g, plus g de 0, et donc ça fait x plus 1. Donc ça en fait d'ailleurs c'est la tangente la plus connue de l'exponentiel, la tangente à 0, dont l'équation est y égale x plus 1. Donc voilà pour cette méthode sur la détermination de l'équation de la tangente, à savoir parfaitement maîtrisée, parce que ça tombe à tous les coups sur une étude de fonction. Voilà, c'est tout pour cette vidéo.

Équation Tangente

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