Home

Terminale

Maths Spé

Analyse

Rappels

Ce cours donne une méthode pour étudier plus rapidement un polynôme de second degré en utilisant une astuce pour aller directement à l'extrême minimum ou maximum. Cette astuce consiste à utiliser la formule "-b/2a" pour trouver l'extrême, puis vérifier le signe de "a" pour déduire si c'est un minimum ou maximum. Ensuite en utilisant les formules de racines et d'ordonnées, on peut facilement trouver les coordonnées des racines et du minimum. Cela permet d'éviter de faire une étude classique de fonction. Cette méthode est particulièrement utile si vous souhaitez aller plus vite lorsque vous tombez sur un polynôme de degré 2.

Sur cette méthode on va s'intéresser spécifiquement au cas du polynôme de second degré que vous étudiez depuis la seconde. C'est un cas assez simple, et on va voir comment on peut aller plus vite que faire une étude classique de fonction. Selon les questions qui sont posées, vous pouvez aller plus vite. La façon de l'étudier est très similaire à chaque fois, voilà pourquoi on s'attarde là-dessus. Et plus c'est limpide pour vous, plus ça ira vite le jour où vous tombez dessus. Alors on va étudier un polynôme de degré 2, 2x²-8x±. F est évidemment bien dérivable, on justifie toujours l'ensemble de dérivabilité, on le justifie avant de calculer la dérivée, et je calcule sa dérivée avec les formules usuelles, ça fait 4x-8. Petite remarque, pour étudier le signe, c'est pas très compliqué, quand on voit qu'on peut factoriser par un terme multiplicatif, on le fait. C'est toujours cette ligne. Je factorise par 4, ça fait 4x.2. Et là je vois immédiatement, en même pas un dixième de seconde, que ça change de signe, ça en 2. Quand x est supérieur à 2, f'x est positif, quand x est inférieur à 2, f'x est négatif. Je peux déduire le tableau de variation. Elle est d'abord décroissante, puis croissante. Je calcule l'image au niveau de l'extrême m, qui est ici un minimum, f'2, également à 7. Et c'est ça classique. Maintenant, petite astuce pour aller plus vite, je sais déjà comment ça se comporte un polynôme de degré 2, je sais qu'un polynôme de degré 2 s'écrit tout le temps de la forme ax² plus bx plus c. Moi je sais que l'extrême m est atteint en –b sur 2a. C'est ça la formule qu'il faut connaître, c'est –b sur 2a. Et c'est un extrême m. Donc là, est-ce que c'est un minimum ou un maximum? Je regarde le signe de a. Là si a est positif, vous savez que ça fait une courbe en u, si a est négatif, vous savez que ça fait une courbe en n. Là c'est assez simple de tout de suite comprendre si c'est un minimum ou un maximum. Là a est positif, donc je sais que ça fait un u, donc c'est un minimum. Et donc, j'ai pas fait d'étude de dérivés, je sais que la fonction va être d'abord décroissante, ensuite croissante, et j'ai directement les coordonnées du minimum. C'est –b sur 2a, donc ça vaut 2, je retrouve le résultat d'avant, et même pour aller plus loin, je peux... En fait j'ai tous les résultats, alors ici c'est pas la question, moi je sais que si delta est positif, j'ai deux racines, donc c'est pas la question, mais on pourrait me demander le signe de f, et là, tout simplement c'est pareil, j'utilise mes résultats classiques sur les polynômes de degré 2, les coordonnées de l'extrêmum c'est –b sur 2a, et pour l'ordonnée, soit vous faites f de –b sur 2a, vous faites le calcul, soit directement vous faites –delta sur 4a, ça vaut –delta sur 4a. Les coordonnées, je les ai remises en astuce ici, ça vous pouvez les prendre par cœur, et évidemment les racines, ça vous connaissez toujours par cœur, –b plus racine de delta sur 2a, et –b moins racine de delta sur 2a. Et donc on voit bien aussi, c'est bien qu'on prenne ce temps-là pour regarder tout ça, on voit bien que le minimum, il est au centre, les deux racines sont situées à égale distance du centre, parce que je suis à –b sur 2a, et là je fais plus racine de delta sur 2a, et là je fais moins racine de delta sur 2a. Donc voilà pourquoi c'est très symétrique tout ça. Cette petite astuce, ça peut vous permettre, si vous tombez sur un polynôme de degré 2, bon là on me demandait d'étudier la dérivée, donc je ne pouvais pas faire autrement, mais en fait, très vite, comme ça je peux ressortir mes résultats, et déduire le sens de variation, le signe de ma fonction. Voilà pour les polynômes de degré 2. Si vous avez des questions, n'hésitez pas, allez dans la FAQ.

Polynômes 2nd Degré

RELATED

Recommended videos

Équation Tangente

Formules Classiques