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Composition

Dans ce cours, on apprend à étudier une fonction composée, en utilisant l'exemple de la fonction e^(2x-1)/x^2. On explique que la fonction est de la forme h-g^2x, où g est -1/x^2 et h est e^(2x-1), et qu'il est important de bien comprendre ces deux fonctions pour étudier leur composition. On utilise ensuite les formules de dérivation pour trouver le sens de variation de g et son tableau de variation, ainsi que les limites de la fonction aux bornes. Ensuite, on calcule le sens de variation de f (g-h), en appliquant les règles de variation (croissant composé avec croissant fait croissant, décroissant composé avec décroissant fait croissant, etc.) On trouve finalement que la fonction est décroissante sur R* et croissante sur R*+, avec des limites en moins l'infini et plus l'infini de 1, et une limite en 0 de 0 (qui peut être prolongée par continuité). On explique que cela peut être fait en calculant la dérivée de la fonction, ou en étudiant directement la fonction composée.

Dans cette méthode, on va étudier une fonction composée. On va regarder comment on fait l'étude et le tableau de variation d'une fonction qui est une composée de deux autres fonctions. Dans cet exemple-là, ce sera e2-1 sur x², la fonction qui est proposée. A chaque fois qu'on voit une fonction, une composition, on va bien expliciter ce que c'est. Là, je dis que c'est de la forme h-g2x, où g, c'est –1 sur x², et h, l'exponential. Là, j'ai parfaitement identifié. La fonction h, c'est l'exponential qui est définie sur R, et dérivable sur R d'ailleurs, et g, la fonction –1 sur x², attention, elle est définie et dérivable sur R étoile. En zéro, elle n'est pas définie. Par composition, ça veut dire que f est défini sur R étoile. Une fois qu'on a identifié ça, on va pouvoir faire son tableau de variation. J'utilise mes fonctions, mes formules de dérivation. Je sais que g' est la fonction, en faisant le calcul, ça fait 2 sur x³, donc je vois que c'est du signe de x, ça c'est très facile. C'est négatif g' entre mon infini et zéro, et positif ensuite. Attention, ici zéro est une valeur interdite à cause du dénominateur. J'en déduis le sens de variation de g et son tableau de variation, c'est-à-dire qu'elle est négative ici, décroissante, pardon, excusez-moi, et croissante de zéro plus infini. Ensuite pour les limites, dans un tableau de variation complet, il y a toujours les limites, donc on essaie de les mettre toujours. En plus ou moins l'infini, moins 1 sur x² c'est envers zéro, donc voilà pourquoi g' est zéro ici, et la limite en zéro de moins 1 sur x², c'est moins l'infini, que ce soit en zéro plus ou zéro moins, à cause du carré dans le x, ça sera toujours négatif. Donc là j'ai toutes mes limites, j'ai mes 4 limites, j'ai un tableau de variation complet. Je vais tracer la fonction pour qu'on voit à quoi ça ressemble. Évidemment on aurait pu même étudier qu'une partie de la fonction sur un intervalle, parce qu'on aurait pu tout de suite voir que la fonction est paire. Si on étudiait la parité de la fonction, on s'est dit qu'on ne peut l'étudier que sur R+, et j'aurais déduit les variations sur R-mont par parité. Alors, maintenant on nous demande le sens de variation de f, c'est à dire g-h. La règle, c'est... Attention, des fois les élèves sont un peu perturbés, le sens de variation, le signe, c'est deux choses complètement distinctes. C'est rien à voir les deux, je peux très bien avoir une fonction croissante qui est positive, croissante négative, etc. C'est deux choses complètement distinctes. Les règles, c'est un peu comme les règles de multiplication sur les signes que vous avez appris en 4ème. Plus plus ça fait plus, moins moins ça fait plus, plus moins ça fait moins, etc. Là c'est pareil avec les sens de variation. Croissant composé avec croissant ça fait croissant, décroissant avec décroissant ça fait... Grosse erreur, ça fait... croissant. Voilà. C'est bon, c'est corrigé. Ensuite, croissant avec décroissant ça fait décroissant, quel que soit le sens. Vous avez compris. Donc là, g-h, la fonction exponentielle est croissante sur r, et la fonction h, on vient d'étudier son sens de variation. Finalement il y aura deux intervalles, on en déduit que f sera décroissante sur r-étoile, et croissante sur r-étoile+. Ensuite pour les limites, là on est obligé de revenir vraiment aux limites d'une composée. Donc je regarde en moins l'infini g2x tend vers 0, ensuite comme c'est h rongé, je regarde la limite quand x tend vers 0 de hdx, et ça fait 1. Donc j'en déduis que ma fonction f, elle tend en moins l'infini vers 1. Idem, je regarde en plus l'infini, g2x en plus l'infini tend vers 0, là je viens de le faire h2x quand x tend vers 0, ça tend vers 1. Donc par composition, f2x tend vers 1. Ensuite en 0, on a vu que g2x tend vers moins l'infini en 0, comme on étudie h de g2x, comme g2x tend vers moins l'infini, on va regarder h de x quand x tend vers moins l'infini. Et ça, ça tend vers 0. Donc ma limite de f en 0, c'est 0. D'où le tableau de variation de f, décroissante, croissante, ça va de 1 en 0, 0 à 1. Là j'ai un tableau de variation complet avec mes limites. Et voilà. Là c'est pas évident du tout, la fonction n'est pas définie en 0. Ça se voit pas sur la calculatrice, mais c'est le chapitre de la continuité, on pourrait par contre prolonger par continuité cette fonction, et poser f de 0 égale à 0. Autre méthode, on aurait pu étudier directement la fonction f, en calculant sa dérivée, ce qu'on a fait ici, on a étudié l'intérieur de la composée, mais on pourrait faire une étude classique, en disant que je connais la dérivée d'une composée, de h fond g, ça fait h' de g fois g', mais on serait tombé au même résultat. Voilà comment on peut étudier, sans calculer la dérivée de la fonction, comment on peut trouver le sens de variation d'une fonction d'une composée. Si vous avez moindre question, comme d'habitude, allez voir, vous pouvez vous manifester sur la FAQ.

Fonction Composée

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